Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Округляем результат до трех знаков (отбрасывая запасной знак и пользуясь правилом дополнения):
S = 0,557 м
2
,
0,002
S
∆=
.
П
РИМЕР 1.9. Угол
x
= 25°20' измерен с точностью до 1'. Определить
sin x
и его абсолютную
погрешность.
Решение. Вычислим сначала абсолютную погрешность
sin x
по формуле (1.17) для этого надо еще
перевести 1' в радианы: 1'=0,000291 — и подсчитать
sin
cos cos25 20' 0,4279
xx
x∆ = ⋅∆ = =
Поэтому для вычисления sin(x) надо взять четырехзначные таблицы тригонометрии ческих функций, что дает
sin х = sin 25°20' = 0,4279.
2. Функции нескольких переменных. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции
12
( , ,... )
n
y fxx x=
, вызываемая достаточно малыми погрешностями
1
x
∆
,
2
x
∆
, ...,
аргументов х
1
,
х
2
, ..., х
n
, оценивается величиной
4,4 2,10y = =
(1.19)
Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка
1
1
1
1 ln
i
n
n
yx
i
i
i
ff
fx x
δ
=
=
∂∂
=Σ ∆=
∂∂
∑
(1.20)
П РИМЕР 1.10. Вычислить значение функции u = xy
2
z
3
, если
37,1x =
,
9,87y =
,
6,052z =
,
причем
0,3
x
∆=
,
0,11
y
∆=
,
0,016
z
∆=
.
Решение. Здесь относительные погрешности аргументов равны
3
0,81%
371
x
δ
= =
,
11
1,12%
987
y
δ
= =
,
16
0,26%
6052
z
δ
= =
.
Относительная погреишость функции равна
2 3 3,8%
ux y z
δδ δ δ
=++=
;
поэтому значение функции следует вычислять не более чем с двумя-тремя знаками:
3
801 10u = ⋅
(нельзя писать 801 000, это имело бы другой смысл). Абсолютная погрешность при этом составляет
33
801 10 0,038 30 10
uu
u
δ
∆= = ⋅ ⋅ = ⋅
.
Здесь целесообразно округлить результат до двух знаков:
5
8,0 10u = ⋅
,
5
0,3 10
u
∆= ⋅
.
П
РИМЕР 1.11. Вычислить значение
ln(10,3 4,4)z = +
, считая верными все знаки приближенных
чисел х=10,3 и у==4,4.
Решение. Число у имеет относительную погрешность
0,5
1, 2%
44
y
δ
= =
, поэтому
y
имеет относительную
погрешность 0,6% и его следует записать с тремя знаками:
4,4 2,10y = =
;
при этом абсолютная погрешность этого корня равна
2,10 0,006 0,013
y
∆= ⋅ =
.
Абсолютная погрешность суммы
10,3 2,10 12, 4xy+= + =
оценивается величиной 0,05 + 0,013 = 0,063,
ее относительная погрешность равна
0,63
0,5%
124
=
.
По формуле (1.15) такова же будет абсолютная погрешность натурального логарифма, т. е.
0,005
z
∆=
.
Поэтому
ln(10,3 2,10) ln12,40 2,517z = += =
.
Здесь результат имеет три верных знака; округление до верных знаков нецелесообразно, так как при этом
надо писать значение
z
∆
с учетом погрешности округления:
2,52z =
,
0,008
z
∆=
.
ЗАДАЧИ
1. Углы х измерены с предельной абсолютной погрешностью
x
∆
.Определить абсолютную и относительную
11

Страницы