Составители:
погрешности функций y = sinx, у = cosx и y=tgx. Найти по таблицам значения функций,
сохранив в результате лишь верные цифры.
а)
11 20'x =
,
1'
x
∆=
, б) х = 48°42'31",
x∆
= 5", в) х = 45°,
1'
x
∆=
, г) х = 50°10',
x∆
= 0,05°,
д) x = 0,45,
x∆
= 0,5∙10
-2
, е) х = 1,115,
3
0,1 10x
−
∆= ⋅
.
2. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях х и указать абсолютную и
относительную погрешности результатов.
а)
3
sinyx x=
при
2x =
, полагая
2 1,414
≈
,
б)
lnyxx=
при
x
π
=
, полагая
3,142
π
≈
,
в)
cos
x
ye x=
при
3x =
, полагая
3 1,732≈
.
3. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях переменных. Указать
абсолютную и относительную по грешности результатов, считая все знаки исходных данных верными.
а)
2
12
ln( )u xx= +
,
1
0,97x =
,
2
1,132x =
,
б)
2
12
3
xx
u
x
+
=
,
1
3, 28x =
,
2
0,932x =
,
3
1,132x =
,
в)
12 13 23
u xx xx xx=++
,
1
2,104x =
,
2
1,935x =
,
3
0,845x =
.
4. Определить относительную погрешность при вычислении полной поверхности усеченного конуса, если
радиусы его оснований R и г и образующая /, измеренные с точностью до 0,01 см, равны
R
=23,64 см,
r
=17,31 см,
l
=10,21 см.
§ 6. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности
функции
Эта задача имеет однозначное решение только для функции одной переменной
()y fx
=
: если эта функция
дифференцируема и
'( ) 0fx
≠
, то
1
'( )
xy
fx
∆= ∆
(1.21)
Для функции нескольких переменных y=f(x
l,
х
2
, ..., х
п
) задача решается только при введении каких-либо
дополнительных ограничений. Например, если значение одного из аргументов значительно труднее измерить
или вычислить с большой точностью, чем значения остальных аргументов, то погрешность именно этого
аргумента надо согласовать с требуемой погрешностью функции.
Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то обычно
применяют принцип равных влияний, считая, что в формуле (4.12)!!!(в источнике ссылается на формулу,
которая 1.19)!!!! все слагаемые
i
x
i
f
dx
∂
∆
равны между собой; это дает формулу
i
y
x
i
f
n
dx
∆
∆=
∂
( 1, 2, ..., )
in=
(1.22)
На практике часто встречаются задачи промежуточного типа между указанными крайними случаями. Мы
рассмотрим соответствующие примеры.
П
РИМЕР 1.12. С какой точностью следует измерить угол х в первой четверти, чтобы получить значение sinx
с пятью верными знаками?
Решение. Если известно, что угол х > 6°, так что sin x > 0,1, то надо определить
x
∆
так, чтобы
выполнялось неравенство
5
sin
0,5 10
x
−
∆< ⋅
. Для этого в соответствии с формулой (1.17) достаточно взять
5
0,5 10
x
−
∆< ⋅
, т. е. измерить угол х с точностью до 1". Если, сверх того, известно, что угол х > 60° и, значит,
cos х < 0,5, то стоит воспользоваться формулой (1.21), откуда
55
sin
1
2 0,5 10 10
cos
xx
x
−−
∆= ∆ > ⋅ ⋅ =
,
т. е. достаточно измерить угол х с точностью всего до 2".
Но если угол х < 6°, например, 1° < х < 6°, то 0,01 < sin x < 0,1 и для обеспечения пяти верных знаков в
значении sin л: придется обеспечить неравенство
6
sin
0,5 10
x
−
∆< ⋅
, для чего придется измерять угол х с
точностью до 0,1".
П
РИМЕР 1.13. С какой точностью следует определить радиус основания R и высоту Н цилиндрической
банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%?
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
