Составители:
здесь равен 2.5). Третье уравнение примет вид
6.002 = 6.002.
Отсюда находим х
3
= 1. С помощью второго и первого уравнений вычислим х
2
, х
1
:
21
2.5 5 1 7 7 ( 1)
1, 0.
2.5 10
xx
− ⋅ + ⋅−
= =−= =
Таким образом, в результате перестановки уравнений, т. е. выбора наибольшего по модулю из оставшихся в
данном столбце элементов, погрешность решения в рамках данной точности исчезла.
Рассмотрим подробнее вопрос о погрешностях решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Запи-
шем систему в матричном виде: Аx = b. Решение этой системы можно представить в виде x=A
-1
b. Однако
вычисленное по методу Гаусса решение X
*
отличается от этого решения из-за погрешностей округлений,
связанных с ограниченностью разрядной сетки машины.
JСуществуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного. Одна из
них — погрешность ΔX, равная разности этих значений, другая — невязка
, равная разности между правой и
левой частями уравнений при подстановке в них решения:
**
,.x x x Ax b
τ
∆= − = −
Можно показать, что если одна из этих величин равна нулю, то и другая должна равняться нулю. Однако из
малости одной не следует малость другой. При ΔX≈0 обычно τ≈0, но обратное утверждение справедливо не
всегда. В частности, для плохо обусловленных систем при τ≈0 погрешность решения может быть большой.
Вместе с тем в практических расчетах, если система не является плохо обусловленной, контроль точности
решения осуществляется с помощью невязки. Можно отметить, что метод Гаусса с выбором главного
элемента в этих случаях дает малые невязки.
1.3 Определитель и обратная матрица.
Ранее уже отмечалось, что непосредственное нахождение определителя требует большого объема
вычислений. Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее
диагональных элементов.
Для приведения матрицы к треугольному виду может быть использован метод исключения, т. е. прямой ход
метода Гаусса. В процессе исключения элементов величина определителя не меняется. Знак определителя ме-
няется на противоположный при перестановке его столбцов или строк. Следовательно, значение определителя
после приведения матрицы А к треугольному виду вычисляется по формуле
1
det ( 1) .
n
k
ii
i
Aa
=
= −
∏
Здесь диагональные элементы a
ii
берутся из преобразованной (а не исходной) матрицы. Знак зависит от того,
четной или нечетной была суммарная перестановка строк (или столбцов) матрицы при ее приведении к
треугольному виду (для получения ненулевого или максимального по модулю ведущего элемента на каждом
этапе исключения). Благодаря методу исключения можно вычислять определители 1000-го и большего
порядков, и объем вычислений значительно меньший, чем в проведенных ранее оценках.
Теперь найдем обратную матрицу A
-1
. Обозначим ее элементы через z
ij
. Запишем равенство AA
-1
= Е в виде
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
12 12
... ...
1 0 ... 0
... ...
0 1 ... 0
.
......
........ ........
0 0 ... 1
... ...
nn
nn
n n nn n n nn
aa a zz z
aa a zz z
aa a zz z
⋅=
(4.12)
Отсюда следует, что
, 1,2,..., ,
ij
Az e j n= =
Где z
1
и e
j
-j-e столбцы матриц A
-1
и Е соответственно. Таким образом, для нахождения j-го столбца обратной
матрицы нужно решить систему уравнений (5.12). Решив n таких систем для j=1,2,…, n, мы найдём все
столбцы z
i
и, следовательно, саму обратную матрицу.
Поскольку при разных j матрица А системы (5.12) не меняется, исключение неизвестныхпри использовании
метода Гаусса (прямой ход) проводится только один раз, причем сразу для всех правых частей – столбцов e
j
.
Затем для каждой из систем (5.12) делается обратный ход в соответствующей преобразованной правой
частью.
Оценки показывают, что это весьма экономичный способ обращения матрицы. Он требует примерно лишь в
три раза больше действий, чем при решении одной системы уравнений.
Степень отклонения вычисленной обратной матрицы A
*
-1
от её точного значения характеризуется
погрешностью ΔA
-1
и невязкой R:
1 11 1
**
,.A A A R AA E
− −− −
∆= − = −
54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
