Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 53 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

номера уже найденных неизвестных.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что

требование неравенства нулю диагональных элементов a

, на которые происходит деление в процессе

исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в k-м столбце элементов нужно выбрать

наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента a

Рисунок 4.2 !!!!!

Блок-схема алгоритма выбора главного элемента приведена на Рисунок 4.1 . Она дополняет блок-схему

метода Гаусса.

Здесь введены новые индексы: l— помер наибольшего по абсолютной величине элемента матрицы в столбце с

номером k (т. е. среди элементов a

, …, a

,…, a

); m — текущий номер элемента, с которым происходит

сравнение. Заметим, что диагональные элементы матрицы называются ведущими элементами; ведущий

элемент a

— это коэффициент при k-м неизвестном в k-м уравнении на k-м шаге исключения.

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для

преобразовании уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с

выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для сравнительно небольшого числа

(n< 100) уравнений. И только для плохо обусловленных систем решения, полученные по этому методу,

ненадежны.

Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все

элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти машины. Объем

вычислений определяется порядком системы n: число арифметических операций примерно равно (2/3) п