Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ниже рассматривается применение метода исключения для решения систем линейных уравнений, а также для
вычисления определителя и нахождения обратной матрицы.
1.2 Метод Гаусса.
Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным
исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается x
i
из
всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х
2
из третьего и
всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех
пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным х
п
, т. е.
матрица системы будет приведена к треугольному виду. (Заметим, что к такому виду приводится лишь
невырожденная матрица, в противном случае метод Гаусса неприменим).
Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая
последнее сравнение, находим единственное неизвестное х
п
. Далее, используя это значение, из предыдущего
уравнения вычисляем х
п-1
и т. д. Последним найдем x
1
из первого уравнения.
Рассмотрим применение метода Гаусса для системы
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 33 3 2
31 1 32 2 33 3 3
,
,
.
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
++=
++=
++=
(4.9)
Для исключения x
1
из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на -а
21
/ а
11
. Затем, умножив
первое уравнение на –а
31
/ а
11
и прибавив результат к третьему уравнению, также исключаем из него x
1.
Получив равносильную систему уравнений вида
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 2 2
32 2 33 2 3
1
1
11
1
1
11
,
' ' ',
' ' ';
' , , 2, 3,
' , 2,3.
i
ij ij j
i
ii
ax ax ax b
axax b
ax ax b
a
a a a ij
a
a
bb b i
a
++=
+=
+=
=−=
=−=
(4.10)
Теперь из третьего уравнения системы (5.10) нужно исключить х
2
. Для этого умножим второе уравнение на –
а’
32
/ а’
22
и прибавим результат к третьему. Получим
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 3 2
33 3 3
32 32
33 33 23 3 3 2
22 22
,
' ' ',
'' '' ;
''
'' ' ' , '' ' ' .
''
ax ax ax b
axax b
axb
aa
a a ab b b
aa
++=
+=
=
=−=−
(4.11)
Матрица системы (5.11) имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.
Заметим, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты
a
11
, a΄
22
и т. д. Поэтому они должны быть отличными от нуля; в противном случае необходимо
соответственным образом переставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть
предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на компьютере.
Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (5.11)
'' ''
3 33
/.x ba=
Используя это значение, можно найти х
2
из второго уравнения, а затем х
1
из первого:
50

Страницы