Составители:
( )
11 1, 1 1, 1 1
1,1 1, 1 1, 1 1,
1,1 1, 1 1, 1 1,
1 ,1 ,1
... ...
......................
... ...
1.
... ...
......................
... ...
jj n
i ij ij in
ij
ij
i ij ij in
n nj nj nn
a aa a
a aa a
A
a aa a
a aa a
−+
− −− −+ −
+
+ +− ++ +
−+
= −
Каждый элемент (i,j = l, ..., n) обратной матрицы Z=A
-1
равен отношению алгебраического дополнения A
ij
элемента a
ji
(не a
ij
) исходной матрицы А к значению ее определителя D:
1
11 21
2
12 22
1
12
...
...
.............
...
n
n
n n nn
A
AA
DD D
A
AA
ZA
DD D
AA A
DD D
−
= =
Здесь, как и выше, можно также подсчитать число операций, необходимое для вычисления обратной матрицы
без использования специальных методов. Это число равно сумме числа операций, с помощью которых вы-
числяются алгебраических дополнений, каждое из которых является определителем (п-1)-го порядка, и
делений алгебраических до полyчений на определитель D. Таким образом, общее число операций для
вычислений обратной матрицы равно
( )
22 2
1 ( 1)!1 !1 !1.N n n nnnn nn= −⋅ − − + +⋅−= ⋅−
Важной задачей линейной алгебры является также вычисление собственных значений матрицы.
§1. Прямые методы. Метод Гаусса. Метод главных диагоналей. Определитель и обратная
матрица. Метод прогонки.
1.1 Прямые методы
Вводные замечания. Одним из способов решения системы линейных уравнений является правило Крамера,
согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей. Запишем его для си-
стемы
11 1
22 2
ax by c
ax by c
+=
+=
Тогда
11
11 11 11
12
22 22 22
/, /,
,, .
x DDy DD
ab cb ac
DD D
ab cb ac
= =
= = =
Можно попытаться использовать это правило для решения систем уравнений произвольного порядка. Однако
при большом числе уравнений потребуется выполнить огромное число арифметических операций, поскольку
для вычислений п неизвестных необходимо найти значения определителей, число которых n+1. Количество
арифметических операций можно оценить с учетом формулы (8). При этом предполагаем, что определители
вычисляются непосредственно — без использования экономичных методов. Тогда получим
( 1)( ! 1) .N n nn n= + ⋅−+
Поэтому правило Крамера молено использовать лишь для решения систем, состоящих из нескольких
уравнений.
Известен также метод решения линейной системы с использованием обратной матрицы. Система
записывается в виде Аx =b . Тогда, умножая обе части этого векторного уравнения слева на обратную
матрицу A
-1
, получаем x= A
-1
b. Однако если не использовать экономичных схем для вычисления обратной
матрицы, этот способ также непригоден для практического решения линейных систем при больших значениях
п из-за большого объема вычислений.
Наиболее распространенными среди прямых методов являются метод исключения Гаусса и его модификации.
49
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
