Составители:
Итерационные методы могут использоваться для уточнения решений, полученных с помощью прямых
методов. Такие смешанные алгоритмы обычно довольно эффективны, особенно для плохо обусловленных
систем. В последнем случае могут также применяться методы регуляризации.
Другие задачи линейной алгебры. Кроме решения систем линейных уравнений существуют другие задачи
линейной алгебры — вычисление определителя, обратной матрицы, собственных значений матрицы и др.
Легко вычисляются лишь определители невысоких порядков и некоторые специальные типы определителей.
В частности, для определителей второго и третьего порядков соответственно имеем
11 12
11 12 12 21
21 22
,
aa
aa aa
aa
= −
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 32 23 11
31 32 33
.
aaa
a a a aaa aaa aaa aaa aaa aaa
aaa
=++−−−
Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, расположенных на главной
диагонали: D=a
11
a
22
…a
nn
. Отсюда также следует, что определитель единичной матрицы равен единице, а
нулевой — нулю: detE=1, det O=0.
В общем случае вычисление определителя оказывается значительно более трудоемким. Определитель D
порядка n имеет вид (5.3)
12
( 1) ... .
k
n
D aa a
αβ ω
= −
∑
Из этого выражения следует, что определитель равен сумме п\ слагаемых, каждое из которых является
произведением п элементов. Поэтому для вычисления определителя порядка п (без использования
специальных приемов) требуется (п— 1)n! умножений и n! — 1 сложений, т. е. общее число арифметических
операций равно
!1 !N nn nn
= ⋅ −≈ ⋅
(4.8)
Оценим значения N в зависимости от порядка п определителя:
Можно подсчитать время вычисления таких определителей на компьютере с заданным быстродействием.
Примем для определенности среднее быстродействие равным 10 млн. операций в секунду. Тогда для
вычисления определителя 10-го порядка потребуется около 3.6 сек, а при п = 20—свыше 150 тыс. лет.
Приведенные оценки указывают на необходимость разработки и использования экономичных численных
методов, позволяющих эффективно проводить вычисления определителей.
Матрица A
-1
называется, обратной по отношению к квадратной матрице А, если их произведение равно еди-
ничной матрице: AA
-1
= A
-1
A =Е. В линейной алгебре доказывается, что всякая невырожденная матрица А (т.е.
с отличным от нуля определителем D) имеет обратную. При этом
1
det 1/ .AD
−
=
Запишем исходную матрицу в виде
11 1 1
1
1
... ...
...........
... ... .
...........
... ...
jn
i ij in
n nj nn
aaa
Aa a a
aaa
=
Минором элемента называется определитель (n-1)-го порядка, образованный из определителя матрицы А
зачеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма
i+j номеров строки i и столбца j четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная, т. е.
48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
