Составители:
111
222
.
abc
abc
= =
(4.7)
Запишем определитель D системы (5.4) в виде
11
22
.
ab
D
ab
=
Отметим, что при выполнении условия (5.5) D 0, и система (5.4) имеет единственное решение. В случаях
отсутствия решения или при бесчисленном множестве решений имеют место соответственно соотношения
(5.6) или (5.7), из которых получаем D=0.
На практике, особенно при вычислениях на ЭВМ, когда происходят округление или отбрасывание младших
разрядов чисел, далеко не всегда удается получить точное равенство определителя нулю. При D
0 прямые
могут оказаться почти параллельными (в случае системы двух уравнений); координаты точки пересечения
этих прямых весьма чувствительны к изменению коэффициентов системы.
Таким образом, малые погрешности вычислений пли исходных данных могут привести к существенным по-
грешностям в решении. Такие системы уравнений называются плохо обусловленными.
Заметим, что условие D 0 является необходимым для плохой обусловленности системы линейных уравне-
ний, но не достаточным. Например, система уравнений n-го порядка с диагольной матрицей с элементами
a
ii
=0.1 не является плохо обусловленной, хотя ее определитель мал (D =10
-n
).
Геометрическая иллюстрация системы двух уравнений; при малом изменении параметров одной из прямых
координаты точки пересечения мало изменяются в случае а и заметно изменяются в случае b
Приведенные соображения справедливы и для любого числа уравнений системы (5.1) хотя в случае п>3
нельзя привести простые геометрические иллюстрации. При п = 3 каждое уравнение описывает плоскость в
пространстве, и в случае почти параллельных плоскостей или линий их опарного пересечения получаем плохо
обусловленную систему трех уравнений.
О методах решения линейных систем. Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы
— прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления
неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравни-
тельно просты и наиболее универсальны, т. е. пригодны для решения широкого класса линейных систем.
Вместе с тем прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной
памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях п расходуется много места в памяти.
Далее, прямые методы обычно не учитывают структуру матрицы — при большом числе нулевых элементов в
разреженных матрицах (например, клеточных или ленточных) эти элементы занимают место в памяти
машины, и над ними проводятся арифметические действия. Существенным недостатком прямых методов
является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе
используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко
возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к
погрешностям. В связи с этим прямые методы используются обычно для сравнительно небольших (п ≤200)
систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.
Отметим еще, что прямые методы решения линейных систем иногда называют точными, поскольку решение
выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако точное решение может быть по-
лучено лишь при выполнении вычислений с бесконечным числом разрядов (разумеется, при точных
значениях коэффициентов системы). На практике при использовании ЭВМ вычисления проводятся с
ограниченным числом знаков, определяемым разрядностью машины. По этому неизбежны погрешности в
окончательных результатах.
Итерационные методы — это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое
приближенное решение — начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма
проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое
приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения
линейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми
методами. Объем вычислений заранее определить трудно.
Тем не менее итерационные методы в ряде случаев предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти ма-
шины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с п компонентами. Иногда элементы матрицы
можно совсем не хранить, а вычислять их по мере необходимости. Погрешности окончательных результатов
при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой
итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее
выполненных вычислений. Эти достоинства итерационных методов делают их особенно полезными в случае
большого числа уравнений, а также плохо обусловленных систем. Следует отметить, что при этом сходимость
итераций может быть очень медленной; поэтому ищутся эффективные пути ее ускорения.
47
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
