Составители:
увеличении степени интерполяционного многочлена последовательность его значении расходится для любой
фиксированной точки х при 0.7 < |х| < 1.
Положение в некоторых случаях может быть исправлено специальным распределением узлов интерполяции
(если они не зафиксированы). Доказано, что если функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке
[—1, 1], то при выборе значении х
i
, совпадающих с корнями многочленов Чебышева степени n + 1,
интерполяционные многочлены степени n сходятся к значениям функции в любой точке этого отрезка.
Таким образом, повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет уменьшения шага и
специального расположения точек x
i
. Повышение степени интерполяционного многочлена при локальной
интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной
)(
*
)1(
xf
n+
при увеличении n. Поэтому на практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и
квадратичную интерполяции, сплайны).
§4.Аппроксимация. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы. Локальное
сглаживание данных.
4.1 Аппроксимация методом наименьших квадратов (МНК)
Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается в двух контекстах. Во-первых,
широко известно его применение в регрессионном анализе, как метода построения моделей на основе
зашумленных экспериментальных данных. При этом помимо собственно построения модели обычно
осуществляется оценка погрешности, с которой были вычислены её параметры, иногда решаются и некоторые
другие задачи. Во-вторых, МНК часто применяется просто как метод аппроксимации, без какой-либо
привязки к статистике. На этой странице МНК рассматривается как метод аппроксимации.
Общий линейный метод наименьших квадратов
При аппроксимации методом наименьших квадратов аппроксимируемая функция f задается набором N точек
(xi , yi ). Аппроксимирующая функция g строится, как линейная комбинация базисных функций Fj
(количество функций M обычно меньше числа точек N)
При этом коэффициенты c
j
выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений
аппроксимирующей функции от заданных значений
Иногда, если различным точкам назначен различный вес wi , каждое слагаемое в сумме квадратов умножается
на квадрат соответствующего ему веса:
Такая задача называется построением взвешенной аппроксимации по МНК. Следует отметить, что выбор
именно такого способа аппроксимации (линейной комбинации базисных функций) и именно такой оценочной
функции (суммы квадратов отклонений) является далеко не единственно возможным. Базисные функции
могут входить в функцию g нелинейно, а оценочная функция E может быть заменена максимумом отклонения
или любой другой функцией оценки. Однако именно такой способ аппроксимации с такой оценочной
функцией позволяет нам найти наилучшие cj за конечное число операций, сведя задачу к решению системы
линейных уравнений.
Методы поиска коэффициентов
Перед тем, как рассматривать способы поиска коэффициентов cj , введем следующие обозначения:
83
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
