Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5325.6
0000004.000003.00016.05696.01005.7)0001.0(
!4
)35.0)(25.0)(15.0(5.0
0005.0
!3
)25.0)(15.0(5.0
)0128.0(
!2
1)5(-0.5.0
1391.15.01005.7)9.0()9.0(
=
=+−+−=−⋅
+−+−+−
−
−⋅
+−+−
−−⋅
+
−⋅−=≈ Nf
Мы рассмотрели построение интерполяционного многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов. Можно
построить многочлен Ньютона и для произвольно расположенных узлов, как и в случае многочлена
Лагранжа.
В заключении отметим, что разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные
интерполяционные формулы при заданной таблицу значений функции. Это следует из единственности
интерполяционного многочлена заданной степени (при отсутствии совпадающих узлов интерполяции).
3.4 Сплайны
Рисунок 5.3
Сейчас широкое распространение для интерполяции получило использование кубических сплайн-функций —
специальным образом построенных многочленов третьей степени. Они представляют собой некоторую
математическую модель гибкого тонкого стержня из упругого материала. Если закрепить его в двух соседних
узлах интерполяции с заданными углами наклонов A и B (Рисунок 5.3), то между точками закрепления этот
стержень (механический сплайн) примет некоторую форму, минимизирующую его потенциальную энергию.
Пусть форма этого стержня определяется функцией y=S(x). Из курса сопротивления материалов известно, что
уравнение свободного равновесия имеет вид S
IV
(x)= 0. Отсюда следует, что между каждой парой соседних
узлов интерполяции функция S(x)является многочленом третьей степени. Запишем ее в виде
3
1
2
11
)()()(
)(
−−−
−+−+
−
+=
i
iiii
xx
dxxcxxbaxS
(5.38)
ii
xx
x ≤
≤
−
1
Для определения коэффициентов a
i
, b
i
, c
i
, d
i
на всех n элементарных отрезках необходимо получить 4n
уравнений. Часть из них вытекает из условий прохождения графика функции S(x) через заданные точки, т.е
S(x
i-1
)=y
i-1
. S(x
i
)=y
i
. Эти условия можно записать в виде
11
)(
−−
==
iii
yaxS
(5.39)
iii
i
iiiii
yhdhchbaxS =+++=
32
)(
(5.40)
1−
−=
i
ii
x
xh
, i=1, 2, , …, n.
Эта система содержит 2n уравнении. Для получения недостающих уравнений зададим условия непрерывности
первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.
Вычислим производные многочлена (6.38).
2
11
)(3
)(2)(
−−
−
+−+=
′
iiiii
xxdxxcbxS
,
)(62)(
1−
−+=
′′
iii
xxdcxS
.
Приравнивая в каждом внутреннем узле х = x
i
значения этих производных, вычисленные в левом и правом от
узла интервалах, получаем 2n—2 уравнений
(5.41)
iiii
dhcc 3
1
++
+
(5.42)
i=1, 2, …, n-1.
Недостающие два соотношения получаются из условий закрепления концов сплайна.
81

Страницы