Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

)
)...()(
(
!
...))((
!
2
)
(
)(
11
0
10
2
0
2
0
0
0
−
−
−
−
∆
++−−
∆
+−
∆
+
=
n
n
n
n
xx
x
xx
x
hn
y
xxx
x
h
y
x
x
h
y
y
x
N
(5.34)
Конечные разности
0
y
k
∆
могут быть вычислены по формуле (6.31).
Интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в виде
i
n
iiii
y
n
n
t
tt
y
tt
y
t
yth
x
N ∆
+
−−
++∆
−
+∆
+=
+
!
)
1)...(
1
(
...
!
2
)1(
)(
2
(5.35 )
i=0,1,…
Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования
вперед.
Интерполяционную формула (6.35) обычно используют для вычисления значений функции в точках левой
половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим. Разности
yi
k
∆
вычисляются через
значения функций y
i
, y
i+1
,…,y
i+k
причем i+k
≤
n; поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить
разности высших порядков (
ink −≤
). Например, при i=n-3 в (6.35) можно учесть только
yyy
32
,, ∆∆∆
.
Для первой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае
t=(x-x
n
)/h (5.36)
т.е. t<0, и интерполяционный многочлен можно получить в виде
02
2
1
!
)
1)...(
1(
...
!2
)
1(
)(
y
n
nt
tt
y
tt
ytythx
N
n
nn
nn
∆
−+
+
+
+∆
+
+∆+=+
−
−
(5.37)
Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования
назад.
Рассмотрим пример применения интерполяционной формулы Ньютона при ручном счете.
Пример. Вычислить в точках х=0.1, 0.9 значения функции у=f(x), заданной таблице 6.1.
Процесс вычислений удобно свести в ту же Таблица 5.1. Каждая последующая конечная разность получается
путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.
Таблица 5.1
Y
y∆
y
2
∆
y
3
∆
y
4
∆
y
5
∆
1.2715
1.1937
-0.0146
0.0007
-0.0001
0.0000
2.4652
1.1791
—0.0139
0.0006
—0.0001
3.6443
1.1652
—0.0133
0.0005
4.8095
l.f519
—0.0128
5.9614
1.1391
7.1005
При X=0.1 имеем t=(x-x
0
)/h=(0.1-0)/0.2=0.5 По формуле получим
.8702.1000004.000004.0
59685.02715.1)0001.0(
!4
)35.0)(25.0)(15.0(5.0
0007.0
!3
)25.0)(15.0(5.0
)0146.0(
!2
1)-.5(0.50
1937.15.02715.1)1.0()1.0(
=++
++=−⋅
−−−
+⋅
−−
+
+−⋅+⋅+=≈ Nf
Для сравнения по формуле линейной интерполяции получаем
.8684
.1)
1.0( ≈f
Значение функции в точке х=0.9. t=(x-x
n
)/h=(0.9-1)/0.2=-0.5. Тогда
80

Страницы