Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

удовлетворяют соответственно соотношениям
i
i
y
x
=)
(
ϕ
,
ii
yx
′
=
′
)(
ϕ
,
.
,...,1
,
0 n
i
=
В этом случае так же существует единственное решение, если все x
i
различны.
3.3 Многочлен Ньютона
До сих не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполяции. Теперь рассмотрим
случай равноотстоящих значений аргумента, т.е. x
i
-x
i-1
=h=const (i=1,2…,n). Величина h называется шагом.
Введем также понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x
i
: y
i
=f(x
i
).
Составим разности значений функции:
),()(
000
0
xfhxf
yy
y
−+=−
=
∆
)()2(
00121
hxfhxfyyy +−+=−=∆
,
………………………………………..
))1(()(
0011
hnxfnhxfyyy
nnn
−+−+=−=∆
−−
.
Эти значения называют первыми разностями ( или разностями первого порядка) функции.
Можно составить вторые разности функции:
010
2
yyy ∆−∆=∆
,
121
2
yyy ∆−∆=∆
, …
Аналогично составляются разности порядка k:
, i=0, 1, …,n-1.
Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Например,
01
2
01
12
01
0
2
2
)()
( yy
yyyy
yyy
y +−
=−−−
=∆−
∆=∆
,
01230
2
1
2
0
3
33... yyyyyyy −+−==∆−∆=∆
.
Аналогично для любого k можно написать
0210
)1(...
!2
)1(
yy
kk
kyyy
k
kkk
k
−++
−
+−=∆
−−
(5.31)
Эту формула можно записать и для значения разности в узле x
i
:
i
k
ikikki
k
yy
kk
kyyy )1(...
!2
)1(
211
−++
−
+−=∆
−+−++
.
Используя конечные разности, можно определить y
k
:
00
2
00
...
!2
)1(
yy
kk
ykyy
k
k
∆++∆
−
+∆+=
(5.32)
Перейдем к построению интерполяционного многочлена. Ньютона. Этот многочлен будем искать в
следующем виде:
))...()(
(
...))((
)(
)
(
1
101
02
0
10 −
−−−+
+−−
+−
+
=
nn
xxxx
xx
a
xxxxax
xa
a
xN
(5.33)
График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е.
i
i
yx
N =
)
(
(i=0, 1,…,n). Эти условия
используем для нахождения коэффициентов многочлена:
00
0
)( yaxN ==
,
110
0110
1
)(
)( y
haa
xxaa
xN =+
=−+
=
,
2
2
2101202202102
22))(()()( yhahaaxxxxaxx
aaxN =++=−−+−+=
Найдем отсюда коэффициенты а
0
, а
1
, а
2
:
0
0
ya
=
,
h
y
h
yy
h
ay
a
001
01
1
∆
=
−
=
−
=
,
2
0
2
2
002
2
102
2
22
2
2
2
h
y
h
yyy
h
haay
a
∆
=
∆−−
=
−−
=
.
Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид
k
h
k
hk
y
a
!
0
∆
=
, k=0, 1, …, n.
Подставляя эти выражения в формулы (6.33), получаем следующий вид интерполяционного многочлена
Ньютона:
79

Страницы