Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x
i-1
,
y
i-1
) и (x
i
, y
i
), в виде
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
=
−
−
ii
i
ii
i
xx
xx
yy
yy
.
Отсюда
ii
bxay +=
,
ii
xxx ≤≤
−1
(5.22)
,
1
1
−
−
−
−
=
ii
ii
i
xx
yy
a
,
11 −−
−=
iiii
xayb
.
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который
попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (6.21) и найти приближенное значении е
функции в этой точке.
Рассмотрим теперь случай квадратичной интерполяции. В качестве интерполяционной функции на отрезке [x
i-
1
, x
i+1
] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.
Уравнение квадратного трехчлена
iii
cxbxay ++=
2
,
11 +−
≤≤
ii
xxx
(5.23)
Содержит три неизвестных коэффициента a
i
, b
i
, c
i
, для определения которых необходимо три уравнения. Ими
служат условия прохождения параболы (6.22_через три точки (x
i-1
, y
i-1
), (x
i
, y
i
), (x
i+1
, y
i+1
). Эти условия можно
записать в виде
11
2
1 −−−
=++
iiiiii
ycxbxa
,
i
iiiii
y
cxb
xa =
++
2
(5.24)
Алгоритм вычисления приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяций можно
представить в виде блок-схемы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (6.21) нужно
использовать (6.22) с учетом решения системы линейных уравнений (6.23). Интерполяция для любой точки
[ ]
n
xx
x ,
0
∈
проводится по трем ближайшим к ней узлам.
ПРИМЕР. Найти приближенное значение функции y = f(x) при х = 0.32, если известна следующая таблица ее
значений:
x
0.15
0.30
0.40
0.55
y
2.17
3.63
5.07
7.78
Воспользуемся сначала формулой линейной интерполяции (6.22)
ii
b
xa
y +=
,
ii
xxx
≤≤
−1
(5.22).
Значение Х = 0.32 находится между узлами x
i
= 0.30 и x
i
= 0.40. В этом случае
4.14
30.040.0
63.307.5
1
1
=
−
−
=
−
−
=
−
−
ii
ii
i
xx
yy
a
,
69.030.04.1463.3
11
−=⋅−=−=
−− iiii
xayb
,
92.
369.0
32.0
4.14
69.
04.
14 =−
⋅=−
≈ x
y
.
Найдем теперь приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (6.22).
Составим систему уравнений (6.23) с учетом ближайших к точке х= 0.32 узлов: x
i-1
=0.15, x
i
=0.30, x
i+1
=0.40.
Соответственно y
i-1
= 2.17, у
i
= 3.63, y
i+1
=5.07. Система (6.24) запишется в виде
17.215.015.0
2
=++
iii
cbа
,
63.330.030
.0
2
=++
iii
cbа
,
07.
540.040.0
2
=++
ii
i
cb
а
.
Решая эту систему, находим
67.18=
i
а
,
33.1=
i
b
,
55.1=
i
c
. Искомое значение функции
89.355.132.033.132.067.18
2
=+⋅+⋅≈y
77

Страницы