Составители:
Пример.
Рассмотрим рациональное приближение для функции
)
2
sin()(
x
xf
π
=
. Воспользуемся представлением
(6.13), которое в данном случае упрощается, поскольку функция sin x нечетная. В частности в частности, в
числителе можем оставить только члены с нечетными степенями л, а в знаменателе — с четными;
коэффициенты при других степенях x равны нулю:
1
b
=
2
b
=
1
c
==
3
c
=0,
Коэффициенты
1
b
,
2
b
,
2
c
, найдем из системы уравнений (6.13), причем значения коэффициентов
0
a
,
1
a
, …,
6
a
разложения функции в ряд Тейлора (6.12)
n
n
xaxaxaaxP ++++= ...)(
2
210
(5.12)можем взять из
выражения (6.4), т. е.
0
0
=a
,
2
1
π
=a
,
0
2
=a
,
!
3
8
3
3
⋅
−=
π
a
,
0
4
=a
,
!532
5
5
⋅
=
π
a
,
0
6
=a
.
Система уравнений в данном случае примет вид
,
2
1
π
=
b
8
2
35
!38!532
0 c
⋅
−
⋅
=
ππ
.
Отсюда находим
,
2
1
π
=b
,
480
7
3
3
π
−=b
80
2
2
π
=c
.
Таким образом, дробно- рациональное приближение (6.11) для функции
)
2
sin()(
x
xf
π
=
примет вид
22
3
3
)80/(1
)
480
7
()
2
(
)
2
sin(
x
xx
x
π
ππ
π
+
−
=
(5.16)
Это приближение по точности равносильно аппроксимации (6.4) с учетом членов до пятого порядка
включительно.
На практике с целью экономии числа операций выражение (6.11) представляется в виде цепной дроби.
Представим в таком виде дробно-рациональное выражение (6.14). Сначала перепишем это выражение, вынося
за скобки коэффициенты при
3
x
и
2
x
. Получим
2
2
23
)2(20
)2)(
7
60
(
6
7
)
2
sin(
π
π
ππ
+
−
−=
x
xx
x
.
Разделим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов и введем обозначения для
коэффициентов.
Получим
)()
2
sin(
3
2
2
1
kx
xk
xk
x
+
+=
π
,
6
7
1
π
−
=k
,
2
2
)
2
(
7
200
π
−=k
,
2
3
)
2
(20
π
=k
.
Полученное выражение можно записать в виде
+
+
=
x
k
x
k
xk
x
3
2
1
)
2
sin(
π
(5.17)
Для вычисления значения функции по этой формуле требуется намного меньше операций (два деления, два
сложения, одно умножение), чем для вычисления с помощью выражения (6.15) или усеченного ряда Тейлора
(6.4) (далее с использованием правила Горнера).
Приведем формулы для приближения некоторых элементарных функций с помощью цепных дробей,
указывая интервалы изменения аргумента и погрешности
∆
:
2
2
2
1
0
1
2
1
xk
xkkx
x
е
x
+
+
+−
+=
(5.18)
75
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
