Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

)9120
432576
(
256
1
9
3
579
Tххх
хх
+−+−
=
,
)1
50
4001120
1280(
512
1
10
24
68
10
Tх
х
хх
х +−
−
+−
=
,
)
11
220123228162816
(
1024
1
11
35
7
911
T
хх
хххх +
−
−+−=
2.2 Вычисление многочленов.
При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения
многочленов вида
n
n
xaxaxaaxP ++++= ...)(
2
210
(5.12)
Если проводить вычислении «в лоб», т. е. находить значения каждого члена и суммировать их, то при
больших n потребуется выполнить большое число операций(
2/
2
nn +
умножений и n сложений). Кроме
того, это может привести к потере точности за счет погрешностей округления. В некоторых частных случаях,
как это сделано при вычислении синуса, удается выразить каждый последующий член через предыдущий и
таким образом значительно сократить объем вычислений.
Анализ многочлена (6.13) в общем случае приводит к тому, что для исключения возведения х в степень в
каждом члене многочлен целесообразно переписать в виде
...)).)(...(()(
1210
++++++=
− nn
xaaxaxaxaxP
(5.13)
Прием, с помощью которого многочлен представляется в таком виде, называется схемой Горнера. Этот метод
требует n умножений на n сложении. Использование схемы Горнера для вычисления значений многочленов
не только экономит машинное время, но и повышает точность вычислений за счет уменьшения погрешностей
округления.
2.3 Рациональные приближения.
Рассмотрим другой вид аппроксимации функций — с помощью дробно- рационального выражения.
Функцию представим в виде отношения двух многочленов некоторой степени. Пусть, например, это будут
многочлены третьей степени, т. е. представим функцию f(х) d виде дробно- рационального выражения:
3
3
2
21
3
3
2
210
1
)(
xcxcxc
xbxbxbb
xf
+++
+++
=
(5.14)
Значение свободного члена в знаменателе с
0
= 1 не нарушает общности этого выражения, поскольку при
1
0
≠с
числитель и знаменатель можно разделить на с
0
. Перепишем выражение (6.13) в виде
Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора:
...)(
2
2
10
+++=
xaxaaxf
(5.15)
и учитывая члены до шестой степени включительно, получаем
)(
)1(
6
6
5
5
4
4
3
3
2
210
3
3
2
2
1
3
3
2
210
x
axa
xaxa
xax
aax
cxc
xcx
bxb
xbb
+++
+++
×++
+=+
++
Преобразуем правую часть этого равенства, записав ее разложение по степеням х:
).()()(
)()()(
3324156
6
3223145
5
3122134
4
3021123
3
20112
2
1010
3
3
2
210
cacacaaxcacacaaxcacacaax
cacacaaxcacaaxcaaxaхbxbxbb
++++++++++++
++++++++++=+++
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частях, получаем следующую
систему уравнений:
00
a
b =
,
10
11
ca
ab +=
,
201122
cacaab ++=
,
3021123
3
cacaca
ab +++=
,
3
122134
0 c
acacaa +
++=
,
3223145
0 cacacaa +++=
,
3324156
0 cacacaa +++=
.
Решив эту систему, найдем коэффициенты
0
b
,
1
b
,
2
b
,
3
b
,
1
c
,
2
c
,
3
c
, необходимо для аппроксимации (6.13).
74

Страницы