Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Нахождение коэффициентов ряда Чебышева довольно сложно и здесь рассматриваться не будет. На практике
часто используют многочлены Чебышева для повышения точности аппроксимации функций с помощью ряда
Тейлора.
Пусть частичная сумма ряда Тейлора, представленная в виде многочлена, используется для приближения
функции f(x) на стандартном отрезке [—1, 1], т. е.
n
n
xaxaaxf +++≈ ...)(
10
(5.8)
Если рассматриваемый отрезок [a, b] отличается от стандартного, то его всегда можно привести к
стандартному заменой переменной
2
22
x
abba
t
−
+
+
=
.11 ≤≤− x
Многочлен Чебышева Т
n
(х) можно записать в виде
.
2...
)
(
12
2
10
nn
n
x
x
bx
b
bx
T
−
+
++
+
=
Отсюда получаем
)(2)...(2
11
110
1
xTxbxbbx
n
nn
n
nn −−
−
−
++++−=
(5.9)
Если отбросить последний член, то допущенную при этом погрешность
∆
легко оценить:
n−
≤∆
1
2
,
поскольку
1)( ≤xT
n
. Таким образом, из (6.8) получаем, что x
n
есть линейная комбинация более низких
степеней х. Подставляя эту линейную комбинацию в (6.7), приходим к многочлену степени n- 1 вместо
многочлена степени n. Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока погрешность не превышает
допустимого значения.
Используем эту процедуру для повышения точности аппроксимации функции с помощью ряда (6.5). Будем
учитывать члены ряда до 11-й степени включительно. Вычисляя коэффициенты при степенях x, получаем
596410x
3
+0.79692626x
5
–
0.0046817541x
7
+ 0.00016044118x
9
– 0.0000035988432x
11
(5.10)
Многочлен Чебышевa 11-й степени имеет вид
Т
11
= 1024х
11
– 2816х
9
+ 2816х
7
– 1232х
5
+ 220х
3
– 11х.
Выразим отсюда х
11
через более низкие степени:
х
11
=2-10 (11х – 220х
3
+ 1232х
5
– 2816х
7
+2816х
9
+ Т
11
).
Подставляя в (6.10) вместо х
11
правую часть этого равенства и вычисляя новые значения коэффициентов,
получаем:
11
97
53
10000000035.060001505443.00046718573.0
079688296.0
64596332.05707962.1
)
2
sin(
Тхх
ххx
x
−+
−+
−≈
π
(5.11)
Отбрасывая последний плен этого разложения, мы допускаем погрешность
9
1051.3
−
⋅≤∆
. Из-за
приближенного вычисления коэффициентов при степенях х реальная погрешность больше. Здесь она
оценивается величиной
9
108
−
⋅≤∆
.Эта погрешность немного больше, чем для многочлена Чебышева
(5*10
−9
), и значительно меньше, чем для ряда Тейлора (4*10
-6
).
Процесс модификации приближения можно продолжить. Если допустимое значение погрешности больше,
чем при использовании выражения (6.12) (без последнего члена с Т
11
), то х
9
можно заменить многочленом
седьмой степени, а член с Т
9
отбросить; так продолжать до тех пор, пока погрешность остается меньше
допустимой.
В заключение приведем некоторые формулы, необходимые при использовании многочленов Чебышева.
1. Многочлены Чебышева:
[ ]
),arccos
cos()1()
1(
2
1
(x)
2
2
xnxx
xxT
nn
n
=−−+
−+=
)()(2)(
11
хТххТх
T
nnn −+
−
=
, n=1,2,…,
,1)(
0
=
хТ
,)(
1
ххТ =
,12)(
2
2
−= ххТ
,34
)(
3
3
хххТ −=
72

Страницы