Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

1
22
2])
1
11?()
1
11[(lim
2
1
)(
lim
−
→∞→∞
=−−+−+==
nnn
x
n
n
x
n
xxx
xT
a
.
Многочлены Чебышева можно так же представить в тригонометрической форме:
)arccos
cos(
)(
xn
x
T
n
=
(5.6)
n =0,1,…
С помощью этих выражений могут быть получены формулы (6.5).
Нули (корни) многочленов Чебышева на отрезке [-1,1] определяются формулой
π
n
k
x
k
2
12
cos
−
=
, k=1,2,…,n.
Они расположены неравномерно на отрезке и сгущаются к его концам.
Вычисляя экстремумы многочлена Чебышева по обычным правилам (с помощью производных), можно найти
его максимумы и минимумы:
)/cos( nkx
k
π
=
, k=1,2,…,n-1.
В этих точках многочлен принимает поочередно значения T
n
(x
k
)=-(+)1, т.е. все максимумы равны 1, а
минимумы -1. На границах отрезка значения многочленов Чебышева равны –(+)1.
Многочлены Чебышева широко используются при аппроксимации функций. Рассмотрим их применение для
улучшения приближения функций с помощью степенных рядов, а именно для более равномерного
распределения погрешностей аппроксимации по заданному отрезку [-π/2, π/2].
Отрезок [-π/2, π/2] является не совсем удобным при использовании многочленов Чебышева, поскольку они
обычно рассматриваются на стандартном отрезке [-1,1]. Первый отрезок легко привести ко второму заменой
переменной x на π/2. В этом случае ряд для аппроксимации синуса на отрезке [-1,1]примет вид:
...)
2
(
!5
1
)
2
(
!3
1
2
2
sin
52
−+−=
xxxx
ππππ
(5.7)
При использовании этого ряда погрешность вычисления функции в окрестности концов отрезка x=
1±
существенно возрастает и становится значительно больше, чем в окрестности точки х=0. Если вместо (6.6)
использовать ряд
...,)
(
)()
2
sin(
22
11
0
+
++= x
T
cx
Tc
c
x
π
Рисунок 5.2
члены которого являются многочлены Чебышева, то погрешность будет распределена по всему отрезку
(рисунок 6.2). В частности при использовании многочленов Чебышева до девятой степени включительно
погрешность находится в интервале (-5÷5)*10
-9
. Причем погрешность ряда Тейлора для этой задачи на
концах отрезка составляет 4*10
-6
.
71

Страницы