Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

проходит близко от данных точек (рисунок 6.1, штриховая линия). Понятие «близко» уточняется при
рассмотрении разных видов приближения.
Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (6.1). При
этом
n
m
≤
; случай m=n соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий
многочлен как можно меньшей степени (как правило, m=1, 2. 3).
Мерой отклонения многочлена
)(x
ϕ
от заданной функции f(x) на множестве точек (x
i
,y
i
) (i=0,1, 2, …, n) при
среднеквадратичном приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями
многочлена и функции в данных точках:
2
0
])([
∑
=
−=
n
i
ii
yxS
ϕ
(5.3)
Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты a
0
, a
1
, …, a
m
так, чтобы
величина S была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.
1.2 Равномерное приближение.
Во многих случаях, особенно при обработке экспериментальных данных, среднеквадратичное приближение
вполне приемлемо, поскольку оно сглаживает некоторые неточности функции f(x) и дает достаточно
правильное представление о ней. Иногда, однако, при построении приближения ставится более жесткое
условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка [а. b] отклонение многочлена
)(x
ϕ
от функции
f(x) было по абсолютной величине меньшим заданной величины
:0>
ε
.,)()( bxaxxf ≤≤<−
εϕ
В этом случае говорят, что многочлен
)(x
ϕ
равномерно аппроксимирует функцию f(x) с точностью
ε
на
отрезке [a, b].
Введем понятие абсолютного отклонения
∆
многочлена
)(x
ϕ
от функции f(x) на отрезке [a, b]. Оно равно
максимальному значению абсолютной величины разности между ними на данном отрезке:
.
По аналогии можно ввести понятие среднеквадратичного отклонения
nS /=∆
при среднеквадратичном
приближении функций.
Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы
Вейерштрасса об аппроксимации:
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого
0>
ε
существует многочлен
)(x
ϕ
степени
)(
ε
m
m =
, абсолютное отклонение которого от функции f(x) на отрезке [a, b] меньше
ε
.
§2. Многочлены Чебышева. Вычисление многочленов. Рациональные приближения.
2.1 Многочлены Чебышева.
Одним из способов совершенствования алгоритма вычислений, позволяющих более равномерно распределить
погрешность по всему интервалу, является использование многочленов Чебышева.
Многочлен Чебышева
])1()1[(
2
1
)(
22 nn
n
xxxxxT −−+−+=
,
11 ≤≤− x
(5.4)
n=0,1,…
Легко показать, что (6.4) действительно является многочленом: при возведении в степень и последующих
преобразованиях члены, содержащие корни, уничтожаются. Приведем многочлены Чебышева, полученные по
формуле (6.3) при n=0,1,2,3
1
)(
0
=x
T
,
xxT =)(
1
,
12)(
2
2
−= xxT
,
xxxT 3
4)(
3
3
−=
.
Для вычисления многочлена Чебышева можно воспользоваться рекуррентным соотношением
)()(2)(
1
1
xTxxTxT
n
nn
−
−=
+
(5.5)
n=1,2,…
В ряде случаев важно знать коэффициент а
n
при старшем члене многочлена Чебышева степени n
....)(
10
n
nn
xa
xaaxT +++=
Разделив этот многочлен на x
n
, найдем
x
a
x
a
x
xT
a
n
nn
n
n
10
...
)(
−
−−−=
.
Перейдем к пределу при
∞→x
и воспользуемся формулой (6.4), получим
70

Страницы