Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

1 1 12
21 2 2 23
12 1 1 1
1
( ) 0,
( ) 0,
.................................................................................
( ) 0,
( ) 0.
nn n n nn
nn n n
b x cx
ax b x cx
ax b x cx
ax b x
λ
λ
λ
λ
−− − − −
−
−+ =
+− + =
+− + =
+− =
(4.51)
Матрица системы (5.51) вырожденная, поскольку ее определитель (5.47) равен нулю. Можно показать, что
если (i = 1,2,..., п-1), то последнее уравнение системы (5.51) является следствием остальных уравнений.
Действительно, если отбросить первый столбец и последнюю строку в матрице A, то вместо (5.47) получится
определитель вида
1
22
12 1
11 1
0
... 0.
0
n
nn n
c
bc
cc c
ab c
λ
λ
−
−− −
−
= ≠
−
(4.52)
Следовательно, все строки с первой по (n-1)-ю линейно независимы, последнее уравнение системы (5.51) —
следствие остальных, и одно неизвестное этой системы является свободным. Отбрасывая последнее
уравнение системы (5.51), записываем ее в виде
12 1 1
2 2 23 21
12 1 1 1
( ),
() ,
................................................................................
.......
( ) 0.
nn n n nn
cx b x
b x cx ax
ax b x cx
λ
λ
λ
−− − − −
=−−
−+ =−
+− + =
(4.53)
Считая компоненту x
1
свободным неизвестным и полагая ее равной любому ненулевому значению (иначе при
x
1
= 0 остальные компоненты также будут нулевыми), можно из системы (5.53) найти последовательно все
остальные компоненты: из первого уравнения легко вычислить х
2
, из второго х
3
и т, д., из последнего х
n
.
Поскольку определитель (5.52) этой системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение.
Описанным способом могут быть найдены собственные векторы, соответствующие всем собственным
значениям трехдиагональной матрицы (5.46).
Если трехдиагодальная матрица получена в результате последовательности преобразований подобия
исходной симметричной матрицы, то, как уже отмечалось, все собственные значения трехдиагональной
матрицы являются одновременно собственными значениями исходной матрицы, а собственные векторы
пересчитываются по формулам (5.45). При этом вычислять произведения матриц на
собственные векторы трехдиагональной матрицы нецелесообразно, поскольку при умножении матрицы
на вектор х изменяются только две его компоненты: x
i
и x
j
. Поэтому в качестве этих компонент берем
значения рx
i
-qx
j
и qx
i
+ px
j
, что сокращает объем вычислений по сравнению с умножением матрицы на
вектор х.
68

Страницы