Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23 24 1,
...
i n ni
x PP P y
−
=
(4.45)
3.3 Трехдиагональные матрицы.
Симметрическую матрицу можно привести с помощью преобразований подобия к трехдиагональному виду.
Кроме того, трехдиагональные матрицы представляют самостоятельный интерес, поскольку они встречаются
в вычислительной практике, и нередко требуется находить их собственные значения и собственные векторы.
Рассмотрим трехдиагональную матрицу вида
11
122
111
0
.
... ... ... ... ... ...
0
nnn
nn
bc
abc
A
abc
ab
−−−




=




(4.46)
Здесь элементы расположены вдоль главной диагонали; - над ней;
- под ней.
Для нахождения собственных значений нужно приравнять нулю определитель D
n
( ) = dot(A - Е), или
11
22 2
111
0
( ) 0.
0
n
nnn
nn
bc
ab c
D
abc
ab
λ
λ
λ
−−−
−
−
= =
(4.47)
Произвольный определитель n-го порядка можно выразить через п миноров (п-1)-го порядка путем
разложения его по элементам любой строки или любого столбца. Разложим определитель (5.47) по элементам
последней строки, в которой всего два ненулевых элемента. Получим
11
11
22 2
1
11
() ( ) () (),
0
() .
... ... ... ... ...
0
n n n nn
n
nn
D b D aM
bc
ab c
M
ac
λ λλ λ
λ
λ
λ
−−
−
−−
=−−
−
−
=
(4.48)
Поскольку минор содержит в последнем столбце лишь один ненулевой элемент то, разлагая
его по элементам этого столбца, получаем
1 12
() ().
n nn
M cD
λλ
− −−
=
Подставляя это выражение в формулу (5.48), получаем рекуррентные соотношения, выражающие минор
высшего порядка через миноры двух низших порядков:
1 12
() ( ) () ().
n n n nn n
D b D ac D
λ λλ λ
− −−
=−−
(4.49)
Положим
)= 1. Минор первого порядка равен элементу определителя, т. е. в данном случае
)= Проверим, с учетом значений ), ) правильность формулы (4.49) при
п = 2;
2 2 1 21 2 1 21
() ( ) () () ( )( ) .
o
D b D acD b b ac
λλλ λλλ
= − − = − −−
(4.50)
Вычисляя минор второго порядка определителя (5.47), убеждаемся в справедливости выражения (5.50). Таким
образом, используя рекуррентные соотношения (5.49), можно найти выражение для характеристического
многочлена D
n
( ) для любого п 2. Вычисляя корни этого многочлена, получаем собственные значения
трехдиагональной матрицы (5.46).
Будем считать, что собственные значения матрицы (5.46) вычислены. Найдем соответствующие
им собственные векторы. Для любого собственного значения собственный вектор находится из системы
уравнений (5.36).
( ) 0.A Ex
λ
−=
Перейдем от матричной формы записи этой системы к развернутой (A- матрица вида (5.46), х-{ х
1
, х
2
, ..., х
n
}):
67

Страницы