Составители:
( ) ( 1)
, 1,2,...
k Tk
ij ij
A PA P k
−
= =
(4.41)
Рассмотрим первый шаг преобразования. Сначала вычисляется произведение матриц В = (здесь -
исходная матрица A). Как видно из (5.40), в полученной матрице отличными от исходных являются элементы,
стоящие в i-м и j-м столбцах; остальные элементы совпадают с элементами матрицы , т.е.
(0) (0) (0) (0)
(0)
,,
, , , 1,2,..., .
li li lj lj li lj
lm lm
b apaqb aqap
b a m ij l n
=
= + =−+
≠=
(4.42)
Затем находится преобразованная матрица Элементы полученной матрицы отличаются от
элементов матрицы В только i-й и j-u строками. Они связаны соотношениями
(1) (1)
(1)
,,
, , , 1,2,..., .
im im jm jm im jm
lm lm
a bp bqa bq bp
a b l ij m n
= + =−+
=≠=
(4.43)
Таким образом, преобразованная матрица отличается от элементами строк и столбцов с номерами i
и j. Эти элементы пересчитываются по формулам (4.42), (4.43). В данных формулах пока не определенными
остались параметры: p и q; при этом лишь один из них свободный, поскольку они подчиняются тождеству
p
2
+q
2
=1 (4.44)
Недостающее одно уравнение для определения этих параметров получается из условия обращения в нуль
некоторого элемента новой матрицы А
(1)
.В зависимости от выбора этого элемента строятся различные
алгоритмы метода вращений.
Одним из таких алгоритмов является последовательное обращение в нуль всех ненулевых элементов,
лежащих вне трех диагоналей исходной симметрической матрицы. Это так называемый прямой метод
вращений. В соответствии с этим методом обращение в нуль элементов матрицы производится
последовательно, начиная с элементов первой строки (и первого столбца, так как матрица симметрическая).
Процесс вычислений поясним с использованием схематического изображения матрицы (Рисунок 4.6).
Точками отмечены элементы матрицы. Наклонные линии указывают три диагонали матрицы, элементы на
которых после окончания расчета отличны от нуля. Алгоритм решения задачи нужно построить таким
образом, чтобы все элементы по одну сторону от этих трех диагоналей обратились в нуль; тогда симметрично
расположенные элементы также станут нулевыми. Обращение элементов в нуль можно выполнять, например,
в следующей последовательности: a
13
, a
14
, …, a
1n
, a
24
, a
25
, …, a
2n
, …, a
n-2n
.
Рассмотрим сначала первый шаг данного метода, состоящий в обращении в нуль элемента a
13
(и
автоматически a
31
). Для осуществления элементарного вращения нужно выбрать две оси — i-ю и j-ю, так
чтобы элемент a
13
оказался в строке или столбце с номером i или j. Положим i = 2, j=3 и умножим матрицу
справа на матрицу вращения и слева на транспонированную матрицу Получим новые значения
элементов матрицы, которые вычисляются по формулам (5.42), (5.43). Полагая в них l=1 и т=3, находим
(1)
13 13 12 13
0.a b aq ap==−+ =
Учитывая тождество p2+q2=1 (4.44), получаем систему уравнений для определения параметров р, q:
13 12
22
0,
1.
ap aq
pq
−=
+=
Решая эту систему, находим
12 12
22 22
12 13 12 13
,.
aa
pq
aa aa
= =
++
Используя эти параметры p, q, можно по формулам (5.42), (5.43) вычислить значения элементов, стоящих в
строках и столбцах с номерами i=2,3; j=2,3 (остальные элементы исходной матрицы не изменились).
Аналогично, выбирая для элементарного вращения i-ю и j-ю оси, можно добиться нулевого значения любого
элемента
на k-м шаге. В этом случае строится матрица вращения параметры которой вычисляются
по формулам, полученным из условия равенства нулю элемента
и (5.44). Эти формулы имеют вид
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)
( 1)
1,
1,
22 22
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1, 1, 1, 1,
,.
k
k
ij
ii
kk kk
ii i j ii i j
a
a
pq
aa aa
−
−
−
−
−− −−
−− −−
= =
++
Учитывая найденные значения параметров р, q, можно по формулам (5.42), (5.43) найти элементы
преобразованной матрицы. Для иллюстрации вновь обратимся к Рисунок 4.6. Вертикальными линиями
показаны столбцы с номерами i и j, соответствующими осям элементарного вращения, горизонтальными —
строки с теми же номерами.
65
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
