Составители:
Пример. Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы
31
.
24
A
=
Решение. Составим характеристический многочлен
2
31
(3 )(4 ) 2 7 10.
24
λ
λ λ λλ
λ
−
= − − −= − +
−
Найдем корни этого многочлена второй степени:
2
12
7 10 0, 2, 5.
λλ λ λ
− += = =
Дня нахождения собственных векторов , соответствующих собственным значениям , составим
системы уравнений типа (5.36), (5.37) для каждого из них.
При 2 получим
1
2
32 1 0
,
2 42 0
x
x
−
⋅=
−
или, в координатной форме,
12
12
0,
2 2 0.
xx
xx
+=
+=
Замечаем, что уравнения линейно зависимы. Поэтому оставляем лишь одно из них.
Из первого уравнения следует, что x
2
=-x
1
. Неизвестное x
1
можно считать свободным, полагаем x
1
=1. Тогда
х
2
= -1, и собственный вектор, соответствующий собственному значению 2, имеет вид x
1
={1, -1} или
x
1
=e
1
-e
2
, где e
1
, e
2
единичные орты выбранной базисной системы.
Аналогично находим второй собственный вектор, соответствующий собственному значению =5. Опуская
комментарии, получаем
1 12
2 12
2 0,
35 1 0
,
2 0.
2 45 0
x xx
x xx
− +=
−
⋅=
−=
−
Отсюда x
1
=1, x
2
=2, x
2
= e
1
+ 2е
2
.
Вектор x
1
нормирован; нормируем также вектор х
2
, разделив его компоненты на наибольшую из них.
Получим х
2
=0.5e
1
+е
2
. Можно также привести векторы к единичной длине, разделив их компоненты на
значения модулей векторов. В этом случае
1 12 2 1 2
11
( ), ( 2 ).
25
x ee x e e
=−=+
Мы рассмотрели простейший пример вычисления собственных значений и собственных векторов для
матрицы второго порядка. Нетрудно также провести подобное решение задачи для матрицы третьего порядка
и для некоторых весьма специальных случаев.
В общем случае, особенно для матриц высокого порядка, задача о нахождении их собственных значений и
собственных векторов, называемая полной проблемой собственных значений, значительно более сложная.
На первый взгляд может показаться, что вопрос сводится к вычислению корней многочлена (5.38). Однако
здесь задача осложнена тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. И кроме того, для
произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена.
Отметим некоторые свойства собственных значений для частных типов исходной матрицы.
1. Все собственные значения симметрической матрицы действительны.
2. Если собственные значения матрицы действительны и различны, то соответствующие им
собственные векторы ортогональны и образуют базис рассматриваемого пространства. Следовательно, любой
вектор в данном пространстве можно выразить через совокупность линейно независимых собственных
векторов.
3. Если две матрицы А и В подобны, т. е. они связаны соотношением
63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
