Составители:
итерационный процесс, используется переменная l, которая принимает значения 0, 1 и 2 соответственно при
продолжении итераций, при выполнении условия и при выполнении условия k=М.
§3. Задачи на собственные значения. Метод вращений. Трехдиагональные матрицы.
3.1 Задачи на собственные значения.
Основные понятия. Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области
вычислительной математики требуют нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
Введем некоторые определения, необходимые для изложения материала данного параграфа.
Рассмотрим, квадратную матрицу n-го
11 12 1
21 22 2
12
...
...
.
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
aa a
aa a
A
aa a
=
(4.33)
Вектор x={ } называется собственным вектором матрицы А соответствующим собственному
значению , если он удовлетворяет системе уравнений
.Ax x
λ
=
(4.34)
Поскольку при умножении собственного вектора на скаляр он остается собственным вектором той же
матрицы, его можно нормировать. В частности, каждую координату собственного вектора можно разделить
на максимальную из них или на длину вектора; в последнем случае получится единичный собственный
вектор.
Характеристической матрицей С данной матрицы А называется матрица вида
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
aa a
aa a
CA E
aa a
λ
λ
λ
λ
−
−
=−=
−
(4.35)
где Е — единичная матрица. Легко видеть, что систему (5.34) можно записать в виде
.
( ) 0 0.A Ex или Cx
λ
−= =
(4.36)
Если перейти к координатной форме записи вектора х, то с учетом (5.33) систему (5.36) можно записать в
виде
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
( ) ... 0,
( ) ... 0,
................................................... ,
... ( ) 0.
nn
nn
nn nnn
a x ax ax
ax a x ax
ax ax a x
λ
λ
λ
− + ++ =
+ − ++ =
+ ++ − =
(4.37)
Система (4.36) или (5.37) является однородной системой п линейных уравнений с п неизвестными. Она имеет
ненулевые решения лишь тогда, когда ее определитель равен нулю: det C =0, причем решение не единственно.
Определитель матрицы С является многочленом n-й степени относительно :
1
01 1
det ... ,
nn
nn
Cc c c c
λλ λ
−
−
= + ++ +
(4.38)
называемым характеристическим многочленом. Корни этого многочлена являются собственными
значениями матрицы А.
Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраических
уравнений, решение которой не единственно. Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура
общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными,
могут принимать любые значения, а остальные неизвестные выражаются через свободные. Число свободных
неизвестных равно числу уравнений системы, являющихся следствием остальных уравнений. На практике,
если свободное неизвестное одно (что часто и бывает), его полагают равным некоторому числу, например
единице. После этого остальные неизвестные (компоненты вектора) находятся однозначно из подсистемы
линейно независимых уравнений, в которой отброшено уравнение, являющееся следствием остальных. Эта
процедура не влияет на результат решения задачи, поскольку, как уже отмечалось, собственные векторы
находятся с точностью до постоянного множителя.
62
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
