Составители:
1
,B P AP
−
=
(4.39)
то их собственные значения совпадают (здесь Р — некоторая матрица). Преобразование подобия (5.39) можно
использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу о вычислении ее собственных значений свести к
аналогичной задаче для более простой матрицы. Очевидно, самым лучшим упрощением матрицы (5.33) было
бы приведение ее к треугольному виду
11 12 1
22 2
' ' ... '
' ... '
'.
... ...
0'
n
n
nn
aa a
aa
A
a
=
Тогда матрица (5.35) также имела бы треугольный вид. Как известно, определитель треугольной матрицы
равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен (5.38) в этом случае
имеет вид
11 22
det ( ' )( ' )...( ' ).
nn
Ca a a
λλ λ
=−− −
Собственные значения матрицы, равные корням этого многочлена, можно получить сразу:
1 11 2 22
' , ' , ..., ' .
n nn
aa a
λλ λ
= = =
Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам. То же самое,
естественно, относится и к диагональной матрице, которая является частным случаем треугольной.
Некоторые типы матриц удается привести к треугольному виду с помощью преобразования подобия. В
частности, симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду. На практике часто используется
приведение симметрической матрицы к трехдиагональному виду. Процедура вычисления собственных
значений для полученной матрицы значительно упрощается по сравнению с задачей для исходной матрицы.
Существует ряд методов, основанных на использовании преобразования подобия, позволяющего привести
исходную матрицу к более простой структуре. Мы рассмотрим ниже один из них — метод вращений.
3.2 Метод вращений.
Одним из эффективных методов, позволяющих привести исходную симметрическую матрицу n-го порядка к
трехдиагональному виду, является метод вращений. Он основан на специально подбираемом вращении
системы координат в n-мерном пространстве. Поскольку любое вращение можно заменить
последовательностью элементарных (плоских) вращений, то решение задачи можно разбить на ряд шагов, на
каждом из которых осуществляется плоское вращение. Таким образом, на каждом шаге выбираются две оси
— i-я и j-я (i j), и поворот на угол производится в плоскости, проходящей через эти оси; остальные оси
координат на данном шаге неподвижны. Матрица вращения мри этом имеет вид
(4.40
)
, , cos , sin .
ii jj ij ji
p p pp p qp q
ϕϕ
= = =−=− = =
Здесь мы рассматриваем матрицы с вещественными элементами. В случае комплексных векторов для
использования этого метода нужно изменить формулы (5.40).
Для осуществления преобразования подобия (5.39) необходимо найти обратную матрицу . Можно
показать, что она равна в рассматриваемом случае транспонированной матрице . Для получения обратной
матрицы достаточно провести зеркальное отражение всех элементов исходной матрицы относительно ее
диагонали. Другими словами, нужно поменять местами строки и столбцы исходной матрицы; элементы и
при этом поменяются местами.
Угол поворота на каждом шаге выбирается таким, чтобы в преобразованной матрице обратился в нуль один
элемент (в симметрической матрице — два). Процесс преобразования исходной матрицы путем
элементарного вращения на любом k-м шаге можно представить в виде рекуррентных соотношений
64
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
