Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(1) (1) (0)
2 2 21 1 23 3
22
1
.
x b ax ax
a
= −−
И наконец, используя вычисленные значения
находим с помощью выражения (4.30)
первое приближение для
:
(
)
(1) (1) (1)
3 3 31 1 32 2
33
1
.
x b ax ax
a
= −−
На этом заканчивается первая итерация решения системы (5.28) - (5.30). Используя теперь значения ,
можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые
приближения к решению: и т. д.
Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с номером k-1, как
( )
( )
( )
( ) ( 1) ( 1)
1 1 12 2 13 3
11
() () ( 1)
2 2 21 1 23 3
22
() () ()
3 3 31 1 32 2
33
1
,
1
,
1
.
k kk
k kk
k kk
x b ax ax
a
x b ax ax
a
x b ax ax
a
−−
−
=−−
= −−
= −−
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения не станут близкими с заданной
погрешностью к значениям
ПРИМЕР. Решить с помощью метода Гаусса-Зейделя следующую систему уравнений:
123
1 23
123
4 4,
2 6 7,
2 3 0.
xxx
x xx
xxx
−+=
+ −=
+−=
Легко проверить, что решение данной системы следующее:
Решение. Выразим неизвестные х
1
, х
2
и х
3
соответственно из первого, второго и третьего уравнений:
( )
( )
1 23 2 13
3 12
11
4 , 72 ,
46
1
( 2 ).
3
x xx x xx
x xx
= +− = − +
= +
В качестве начального приближения (как это обычно делается) примем
Найдем
новые приближения неизвестных:
(1) (1)
12
(1)
3
1 15
(4 0 0) 1, (7 2 1 0) ,
4 66
1 58
(1 2 ) .
3 69
xx
x
= + − = = − ⋅+ =
= +⋅ =
Аналогично вычислим следующие приближения:
(2) (2)
12
(2)
3
1 5 8 71 1 71 8 71
(4 ), (72 ),
4 6 9 72 6 72 9 72
1 71 71 71
( 2) .
3 72 72 72
xx
x
= + − = = −⋅ + =
= +⋅ =
Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в
двух последовательных итерациях. Рассмотрим теперь систему п линейных уравнений с n неизвестными.
Запишем ее в виде
11 , 1 1 , 1 1
... ... ,
1,2,..., .
i i i i ii i i i i in n i
ax a x ax a x ax b
in
−− ++
++ + + ++ =
=
Здесь также будем, предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с
методом Гаусса-Зейделя k-c приближение к решению можно представить в виде
60

Страницы