Составители:
2.2 Метод простой итерации.
Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов.
Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.
Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде, выполним ряд тождественных
преобразований:
;0 ; ;
( ); ( ) ;
,
Ax b b Ax x b Ax x
x b Ax x x E A x b
x Bx b
τ ττ
τ
= =− =−+
=−+=−+
= +
(4.25)
где некоторое число, Е — единичная матрица, В=Е- А. получившаяся система (5.25) эквивалентна
исходной системе и служит основой для построения метода простой итерации.
Выберем некоторое начальное приближение и подставим его в правую часть системы (5.25):
(1) (0)
.x Bx b
τ
= +
Поскольку не является решением системы, в левой части (5.25) получится некоторый столбец в общем
случае отличный от . Полученный столбец будем рассматривать в качестве следующего (первого)
приближения к решению. Аналогично, по известному k - му приближению можно найти (k+1)-е
приближение:
( 1) ( )
, 0,1,2,...
kx
x Bx b k
τ
+
=+=
(4.26)
Формула (4.26) и выражает собой метод простой итерации. Для ее применения нужно задать неопределенный
пока параметр . От значения зависит, будет ли сходиться метод, а если будет, то какова будет скорость
сходимости т. е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. В частности,
справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть det A 0. Метод простой итерации (4.26) сходится тогда и только тогда, когда все
собственные числа матрицы В=А- Е по модулю меньше единицы.
Для некоторых типов матрицы А можно указать правило выбора , обеспечивающее сходимость метода и
оптимальную скорость сходимости. В простейшем же случае
можно положить равным некоторому
постоянному числу, например, 1, 0.1 и т. д.
2.3 Метод Гаусса-Зейделя.
Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью
программирования, является метод Гаусса-Зейделя.
Проиллюстрируем сначала этот метод па примере решения системы
11 1 12 1 13 3 1
21 1 22 1 23 3 2
31 1 32 1 33 3 3
,
,
.
axaxax b
axaxaxb
axaxax b
++=
++=
++=
(4.27)
Предположим, что диагональные элементы ац, а
22
, озз отличны от нуля (в противном случае можно
переставить уравнения). Выразим неизвестные , , и в соответственно из первого, второго и третьего
уравнений системы (4.27):
( )
1 1 12 2 13 3
11
1
,x b ax ax
a
= −−
(4.28)
( )
2 2 21 1 23 3
22
1
,x b ax ax
a
= −−
(4.29)
( )
3 3 31 1 32 2
33
1
,x b ax ax
a
= −−
(4.30)
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизестных:
Подставляя эти значения в правую часть выражения (4.28), получаем новое
(первое) приближение для :
( )
(1) (0) (0)
1 1 12 2 13 3
11
1
.x b ax ax
a
=−−
Используя это значение для и приближение для х
3
, находим из (5.29) первое приближение для х
2
:
59
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
