Составители:
Найдем решение системы линейных уравнений
Ax=b (4.17)
Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислено приближенное решение (т. е. приближенные
значения неизвестных , ,…, ), называемое начальным или нулевым приближением к решению.
Подставляя это решение в левую часть системы (4.17) получаем некоторый столбец правых частей ,
отличный от b:
A = (4.18)
Введем обозначения: — погрешности значений неизвестных, невязка, т. е.
(0) (0) (0) (0) (0)
,.x x x Ax b b b
τ
∆ =− = −= −
(4.19)
Вычитая равенство (4.18) из равенства (5.17), с учетом обозначений (4.19) получаем
(0) (0)
Ax
τ
∆=−
(4.20)
Решая эту систему, находим значения погрешностей: ,
;
которое используем в качестве поправки к
приближенному решению , вычисляя таким образом новое приближенное решение (или следующее
приближение к решению):
= + .
Таким же способом можно найти новую поправку к решению и следующее приближение
= + и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока все очередное значение погрешности
(поправки) не станет достаточно малым, т. е. пока очередные приближенные значения неизвестных
, … , не будет мало отличаться от предыдущих значений , , … , .
Рассмотренный процесс уточнения решения представляет собой фактически итерационный метод решения
системы линейных уравнений. При этом заметим, что для нахождения очередного приближения, т.е. на
каждой итерации, решаются системы уравнений вида (5.20) с одной и той же матрицей, являющейся матрицей
исходной системы (5.17), при разных правых частях. Это позволяет строить экономичные алгоритмы.
Например, при использовании метода Гаусса сокращается объем вычислений на этапе прямого хода.
Решение систем линейных уравнений с помощью рассмотренного метода (а также решение систем линейных
уравнений иными итерационными методами, решение итерационными методами уравнений другого вида и
их систем) сводится к следующему (Рисунок 4.4). Вводятся исходные данные, например, коэффициенты
уравнений и допустимое значение погрешности. Необходимо также задать начальные приближения
значений неизвестных (вектор-столбец
). Они либо водятся в компьютер, либо вычисляются каким-либо
способом (в частности, путем решения системы уравнений с помощью прямого метода). Затем организуется
циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию — переход
от предыдущего приближениях x
(k-1)
к последующему . Если оказывается, что с увеличением числа
итераций приближенное решение стремится к точному:
()
lim ,
k
k
x
→∞
=
то итерационный метод называют сходящимся.
На практике наличие сходимости и достижение требуемой точности обычно определяют приближенно,
поступая следующим образом. При малом (с заданной допустимой погрешностью) изменении х на двух
последовательных итерациях, т. е. при малом отличии от x
(k-1)
, процесс прекращается, и происходит
вывод значений неизвестных, полученных на последней итерации.
Возможны разные подходы к определению малости отличия х на двух последовательных итерациях.
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
