Составители:
Глава 5
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
§1.Точечная аппроксимация. Равномерное приближение.
1.1 Точечная аппроксимация.
Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем:
для данной функции
y=f(x) (5.1)
строим многочлен (6.1), принимающий в заданных точках х те же значения y
i
, что и функция f(x), т.е
i=0,1,....,n.
Рисунок 5.1
При этом предполагается, что среди значений x
i
нет одинаковых, т.е.
ki
xx ≠
при
ki ≠
.
Точки x
i
называются узлами интерполяции, а многочлен
)(x
ϕ
- интерполяционным многочленом.
Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения
совпадают на заданной системе точек (рисунок 6.1, сплошная линия).
Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n, в этом случае говорят о глобальной
интерполяции, поскольку один многочлен
n
n
x
axaax
+++=
...)(
1
0
ϕ
(5.2)
используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х.
Коэффициенты a
i
многочлена находятся из системы (6.2). Можно показать, что при
k
i
xx
≠
)
( k
i ≠
эта
система имеет единственное решение.
Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала
изменения х. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.
Как правило интерполяционные многочлены используется для аппроксимации функции в промежуточных
точках между крайними узлами интерполяции, т.е. при
n
xx
x <<
0
. Однако они используются и для
приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (x < x
0
, x > x
n
). Это приближение
называют экстраполяцией.
При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена
через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия
затруднительно или даже нецелесообразно.
Например, при большом числе узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (6.2) в случае
глобальной интерполяции, т.е. когда нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала
изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать
ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика
через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях
ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого
69
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
