Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.2 Многочлен Лагранжа.
Перейдем к случаю глобальной интерполяции, т. е. построению интерполяционного многочлена, единого для
всего отрезка [x
0
, x
n
]. При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через
все заданные точки.
Запишем искомый многочлен в виде
n
n
xахаах +++= ...)(
10
ϕ
(5.25)
Из условий равенства значений этого многочлена в узлах х
i
соответствующим заданным табличным
значением у
i
получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов a0, a1, …,an:
00010
... yxaxaa
n
n
=+++
(5.26)
11110
... yxaxaa
n
n
=+++
,
………………………….
n
n
nnn
yxaxaa =+++ ...
10
.
Можно показать, что эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет
совпадающих, т.е. если
j
i
x
x
≠
при
ji ≠
. Решив эту систему найдем коэффициенты интерполяционного
многочлена (6.25). Заметим вместе с тем, что такой путь построения интерполяционного многочлена требует
значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые
алгоритмы построения интерполяционных многочленов.
Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:
)(...)()()(
1100
xlyxlyxlyxL
nn
+++=
(5.27)
При этом потребуем, чтобы каждый многочлен l
i
(x) обращался в 0 на всех узлах интерполяции, за
исключением одного (i-го), где он должен равняться единице. Легко проверить, что этим условиям отвечает
многочлен вида
))...()(
(
))...()((
)(
02010
21
0
n
n
xxxxx
x
xxxxxx
x
l
−−−
−−−
=
(5.28)
Действительно, l
0
(x
0
)=1 при х=х
0
. При х=х
1
, х
2
, …,х
n
числитель выражения (6.28) обращается в нуль. По
аналогии с (6.28) получим
,
))...(
)(
)((
))...()(
)((
)
(
23
2
1202
31
0
2
n
n
xxx
x
xx
xx
xx
xxx
x
xx
xl
−−
−−
−
−−
−
=
(5.29)
))...()()...((
))...()()...((
)(
110
111
niiiiii
nii
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xl
−−−−
−−−−
=
+−
+−
Подставляя в (6.27) выражения (6.28), (6.29), находим
))...()()...((
))...()()...((
)(
110
110
0
niiiiii
nii
n
i
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
yxL
−−−−
−−−−
=
+−
+−
=
∑
(5.30)
Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Покажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще
один многочлен F(x) степени n, принимающий в узлах интерполяции заданные значения, т.е. F(x
i
)=y
i
. Тогда
разность R(x)=L(x)-F(x), являющийся многочленом степени n (или ниже), в узлах x
i
равна
R(x
i
)=L(x
i
)-F(x
i
)=0, i=0,1,…,n.
Это означает, что многочлен R(x) степени не больше n имеет n+1 корней. Отсюда следует, что R(x)=0 и
L(x)=F(x).
Из формулы (6.30) можно получить выражение для линейной (n=1) и квадратичной (n=2) интерполяций:
1
01
0
0
10
1
)( y
xx
xx
y
xx
xx
xL
−
−
+
−
−
=
, n=1;
2
1202
10
2101
20
0
2010
21
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)( y
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xL
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
, n=2.
Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. Например, довольно широко
используются интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции
i
y
′
. Здесь задача
состоит в том, чтобы найти многочлен
)(x
ϕ
степени 2n+1, значения которого и его производной в узлах x
i
78

Страницы