Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В частности, при свободном закреплении концов можно приравнять нулю кривизну линии в этих точках.
Такая функция, называемая свободным кубическим сплайном, обладает свойством минимальной кривизны, т.
е. она самая гладкая среди всех интерполяционных функций данного класса. Из условий нулевой кривизны на
концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:
0)(
10
==
′
′
cx
S
,
06
2
)(
=+
=
′
′
nn
n
n
h
dc
x
S
(5.43)
Уравнения (6.39) – (6.43) составляют систему алгебраических уравнений для определения 4n коэффициентов
a
i
, b
i
, c
i
, d
i
, (i=1,2, …,n).
Однако с целью аксиомой памяти ЭВМ и машинного времени эту систему можно привести к более удобному
виду. Из условия (6.39) сразу можно найти все коэффициенты а
i
. Далее из (6.42), (6.43) получим
i
i
i
h
cc
d
3
1
−
=
+
, i=1,2,…,n-1,
n
n
n
h
c
d
3
−=
(5.44)
Подставим эти соотношения, а также значения a
i
=y
i
-1 в (6.40) и найдем отсюда коэффициенты
)2
(
3
1
1
i
i
i
i
i
i
i
c
c
h
h
yy
b
+−
−
=
+
−
, i=1,2,…,n-1.
nn
n
nn
n
ch
h
yy
b
2
3
1
−
−
−
(5.45)
Учитывая выражения (6.44) и (6.45), исключаем из уравнения (6.40) коэффициенты d
i
и b
i.
Окончательно
получим следующую систему уравнений только для коэффициентов с
i
:
0
1
=
с
,
0
1
=
+n
с
,
(5.46)
i=1,2,…,n.
Матрица этой системы трехдиагональная, т. е. ненулевые элементы находятся лишь на главной и двух
соседних с ней диагоналях, расположенных сверху и снизу. Для ее решения целесообразно использовать
метод прогонки. По найденным из системы (6.46) коэффициентам с
i
легко вычислить коэффициенты d
i
и b
i.
3.5 Точность интерполяции
График интерполяционного многочлена y=F(x) проходит через заданные точки, т.е. значения многочлена и
данной функции y=f(x) совпадают в узлах x=x
i
(i=0, 1, …,n). Если функция f(x) сама является многочленом
степени n, то имеет место тождественное совпадение: f(x)=F(x). В общем случае в точках, отличных от узлов
интерполяции R(x)= f(x)-F(x)
0≠
. Эта разность есть погрешность интерполяции и называется остаточным
членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.
Предположим, что заданные числа y
i
являются значениями некоторой функции y=f(x) в точках x=x
i
.Пусть эта
функция непрерывна и имеет непрерывные производные до n+1-го порядка включительно. Можно показать,
что в этом случае остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид
)(
)!1(
))...()((
)(
*
)1(
10
xf
n
xxxxxx
xR
n
n
L
+
+
−−−
=
(5.47)
Здесь
)(
*
)1(
xf
n+
- производная n+1 го порядка функции f(x) в некоторой точке
[ ]
n0*
, xxxx ∈=
. Если
максимальное значение этой производной равно
1
)1(
)
(max
0
+
+
≤≤
=
n
n
xxx
M
xf
n
То можно записать формулу для оценки остаточного члена:
1
10
)!1(
))...()((
)(
+
+
−−−
≤
n
n
L
M
n
xxxxxx
xR
.
Остаточный член интерполяционного многочлена Ньютона можно записать в виде
1
*
)1(
)(
)!1(
))...(1(
)(
++
+
−−
=
nn
N
hxf
n
nttt
xR
,
h
xx
t
0
−
=
Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислении,
погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная
интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не
приводит к успеху.
Такого рода ситуацию в 1901 г. обнаружил К. Рунге. Он строил на отрезке
11 ≤≤−
х
интерполяционные
многочлены с равномерным распределением узлов для функции
)251/(
1
2
xy +=
. Оказалось, что при
82

Страницы