Краткий курс вычислительной математики. Денисова Э.В - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

функциональная зависимость (6.48), полученная на основании экспериментальных данных, называется
эмпирической формулой.
Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической
зависимости, вообще говоря, не проходят через заданные точки
),(
ii
yx
, как в случае интерполяции. Это
приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная
формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и
определения наилучших значений содержащихся в ней параметров. Общий вид формулы иногда известен из
физических соображений. Например, для упругой среды связь между напряжением
σ
и относительной
деформацией
ε
определяется законом Гука:
εσ
E=
, где E — модуль упругости; задача сводится к
определению одного неизвестного параметра E.
Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным.
Предпочтение обычно отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Они
первоначально выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и
примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных
функций (многочлена, показательной пли логарифмической функций и т. п.). Успех здесь в значительной
мере определяется опытом и интуицией исследователя.
Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость
baxy +=
(5.49)
Близость экспериментального распределения точек к линейной зависимости легко просматривается после
построения графика данной экспериментальной зависимости, Кроме того, эту зависимость можно проверить
путем вычисления значений
i
k
:
iii
xyk ∆∆= /
,
iii
yyy −=∆
+1
,
iii
xxx −=∆
+1
,
Если при этом
constk
i
≈
, то точки
),(
ii
yx
расположены приблизительно на одной прямой, и может быть
поставлен вопрос о применимости эмпирической формулы (6.49). Точность такой аппроксимации
определяется отклонением величин
i
k
от постоянного значения. В частном случае равноотстоящих точек
i
x
,
(т. е.
constx
i
=∆
) достаточно проверить постоянство разностей
i
y∆
.
Пример. Проверим возможность использования линейной зависимости для описания следующих данных:
Поскольку здесь
i
x
— равноотстоящие точки (
5.0
1
=−=∆
+ iii
xxx
), то достаточно вычислить разности
i
y∆
:
0.64, 0.69, 0.65, 0.64, 0.65. Так как эти значения близки друг к другу, то в качестве эмпирической формулы
можно принять линейную зависимость.
В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие экспериментальные данные, когда их
график в декартовой системе координат не является прямой линией. Это может быть достигнуто путем
введения новых переменных
ξ
,
η
вместо x и y:
),( yx
ϕξ
=
,
),( yx
ψη
=
(5.50)
Функции
),
( yx
ϕ
и
)
,( yx
ψ
выбираются такими, чтобы точки (
i
ξ
,
i
η
) лежали на некоторой прямой линии в
плоскости (
ξ
,
η
). Такое преобразование называется выравниванием данных.
Для получения линейной зависимости
ba +=
ξη
с помощью преобразования (6.50) исходная формула должна быть записана в виде
.)
,(),
( b
y
xay
x +=
ϕψ
К такому виду легко сводится, например, степенная зависимость
b
axy =
(x>0, y>0). Логарифмируя эту
формулу, получаем
.lglglg axby
+=
Полагая
xlg=
ξ
,
ylg
=
η
, находим линейную связь;
cb +=
ξη
).lg( ac =
4.7 Локальное сглаживание данных.
Как отмечалось ранее , опытные данные содержат случайные ошибки, что является причиной разброса этих
данных. Во многих случаях бывает целесообразно провести их сглаживание для получения более плавного
характера исследуемой зависимости. Существуют различные способы сглаживания. Рассмотрим один из них,
основанный на методе наименьших квадратов.
Пусть в результате экспериментального исследования зависимости y = f{x) получена таблица значений
искомой функции у
0
, у
1
,…,y
n
в точках x
1
, х
0
,…, х
n
. Значения аргумента х ( предполагаются равноотстоящими,
а опытные данные у
i
— имеющими одинаковую точность. Предполагается также, что функция y = f(x) на
произвольной части отрезка [х
0
,х
n
] может быть достаточно хорошо аппроксимирована многочленом
87

Страницы