Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Таблица 9.1
Шаг a y z b A B b-a
1
2
3
4
5
6
5
5
8.6
8.6
8.6
9.4
10.7
8.6
10.7
9.9
9.4
14.3
10.7
12.1
10.7
9.9
20
14.3
14.3
12.1
10.7
10.7
20.7
20.73
20.68
20.66
20.68
21.3
20.68
20.81
20.68
20.66
15
9.3
5.7
3.5
2.1
1.3
Приведем решение для первого этапа:
.
,3.213.14*
30
1
3.14*
3
2
24
,7.207.10*
30
1
7.10*
3
2
24
,3.1420*618.05*382.0
,7.1020*382.05*618.0
2
2
B
A
B
A
z
y
<
≈+−=
≈+−=
≈+=
≈
+
=
При данной невысокой точности вычислений достаточно четырех шагов оптимизации. В этом случае искомое
значение скорости равно у =(8.6 + 10.7)/2 = 9.65 км/ч. После пяти шагов этот результат получается с меньшей
погрешностью:
км/ч. 05.102/)7.104.9(
=
+
=
v
§ 3. Многомерная оптимизация. Минимум функции нескольких переменных. Метод
покоординатного спуска. Метод градиентного спуска.
3.1 Минимум функции нескольких переменных. В § 2 мы рассмотрели одномерные задачи
оптимизации, в которых целевая функция зависит лишь от одного аргумента. Однако в большинстве
реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, целевая функция зависит от многих
проектных параметров. В частности, рассмотренная выше задача об определении сопротивления дороги
движению автомобиля на самом деле является многомерной, поскольку здесь наряду со скоростью имеются и
другие проектные параметры (качество покрытия, уклон, температура и др.).
Минимум дифференцируемой функции многих переменных u = f(x
1
, x
2
, ..., х
п
) можно найти, исследуя ее
значения в критических точках, которые определяются из решения системы дифференциальных уравнений
.0 ..., ,0 ,0
21
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
n
x
f
x
f
x
f
(9.10)
ПРИМЕР. Ранее была рассмотрена задача об определении оптимальных размеров контейнера объемом 1 м
3
.
Задача свелась к минимизации его полной поверхности, которая в данном случае является целевой функцией
.
11
2
21
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
xx
xxS
(9.11)
Решение. В соответствии с 9.10 получим систему
.0
1
2
,0
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∂
∂
x
x
x
S
x
x
x
S
Отсюда находим х
1
= х
2
= 1 м, x
3
= l/(x
1
x
2
) = 1 м. Таким образом, оптимальной формой контейнера в данном
случае является куб, длина ребра которого равна 1 м.
Рассмотренный метод можно использовать лишь для дифференцируемой целевой функции. Но и в этом
случае могут возникнуть серьезные трудности при решении системы нелинейных уравнений (9.10).
Во многих случаях никакой формулы для целевой функции нет, а имеется лишь возможность определения ее
значений в произвольных точках рассматриваемой области с помощью некоторого вычислительного
алгоритма или путем физических измерений. Задача состоит в приближенном определении наименьшего
значения функции во всей области при известных ее значениях в отдельных точках.
Для решения подобной задачи в области проектирования G, в которой ищется минимум целевой функции u =

Страницы