Составители:
Поясним сначала идею метода геометрически, а затем выведем необходимые соотношения. На первом шаге
процесса оптимизации внутри отрезка [а
0
, b
0
] (Рисунок 9.2, а) выбираем две внутренние точки x
1
и х
2
и
вычисляем значения целевой функции f(x
1
) и f(х
2
). Поскольку в данном случае f(x
1
)<f(х
2
), очевидно, что
минимум расположен на одном из прилегающих к х
1
отрезков [а
0
, x
1
] или [x
1
,
х
2
]. Поэтому отрезок [х
2
, b
0
]
можно отбросить, сузив тем самым первоначальный интервал неопределенности.
Второй шаг проводим на отрезке [а
1
, b
0
] (Рисунок 9.2, б), где a
1
= а
0
, b
1
= х
2
. Нужно снова выбрать две
внутренние точки, но одна из них (x
1
) осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать лишь одну
точку x
3
, вычислить значение f(x
3
) и провести сравнение. Поскольку здесь f(x
3
)>f(x
1
), ясно, что минимум
находится на отрезке [x
3
, b
1
]. Обозначим этот отрезок [а
2
, b
2
], снова выберем одну внутреннюю точку и
повторим процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс оптимизации повторяется до тех пор,
пока длина очередного отрезка [а
п
, b
n
] не станет меньше заданной величины ε.
Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом отрезке [a
k
, b
k
]. Пусть длина интервала
неопределенности равна
l, а точка деления делит его на части l
1
, l
2
: l
1
>l
2
, l = l
1
+l
2
. Золотое сечение интервала
неопределенности выбирается так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала
равнялось отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка:
.
1
21
l
l
l
l
=
(9.7)
Из этого соотношения можно найти точку деления, определив отношение
l
2
/l
1
. Преобразуем выражение (9.7) и
найдем это значение:
.
2
51
,0 1
1
2
2
1
2
,0
),( ,
1
2
2
121
2
2
212
2
12
2
1
±−
=
=−+
=−+
+==
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
l
l
l
l
l
l
llll
lllllll
Поскольку нас интересует только положительное решение, то
.618.0
2
51
1
1
2
≈
+−
==
l
l
l
l
Отсюда
.382.0 ,618.0
21
llll ≈≈
Поскольку заранее неизвестно, в какой последовательности (
l
1
и l
2
или 1
2
и l
1
) делить интервал
неопределенности, то рассматривают внутренние точки, соответствующие двум этим способам деления. На
Рисунок 9.2,
а точки деления x
1
и х
2
выбираются с учетом полученных значений для частей отрезка. В данном
случае имеем
.
,618.0
,382.0
000
00210
02001
abd
daxxb
dxbax
−=
=−=−
=
−
=
−
После первого шага оптимизации получается новый интервал неопределенности — отрезок [
а
1
, b
2
] (см.
Рисунок 9.2,
б). Можно показать, что точка x
1
делит этот отрезок в требуемом отношении, при этом
. ,382.0
111111
abddxb
−
=
=
−
Для этого проведем очевидные преобразования:
.382.0)618.0/(236.0
,618.0
,236.0382.0382.0)()()(
1111
1021
00002001001211
ddxb
daxd
ddddxbaxabxxxb
==−
=−=
=−
−
=
−
−
−
−
−=
−
=−
Вторая точка деления
х
3
выбирается на таком же расстоянии от левой границы отрезка, т. е. х
3
- a
1
= 0.382d
1
. И
снова интервал неопределенности уменьшается до размера
.618.0618.0
0
2
131222
ddxbabd ==−=−=
Используя полученные соотношения, можно записать координаты точек деления
у и z отрезка [a
k
, b
k
] на
(k+1)−м шаге оптимизации (у < z):
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
