Составители:
имеет место для периодической функции, рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.
Будем рассматривать методы оптимизации для разных классов целевых функций. Простейшим из них
является случай дифференцируемой функции f(x) на отрезке [а,b], причем функция задана в виде
аналитической зависимости y = f(x), и может быть найдено явное выражение для: ее производной f'(x).
Нахождение экстремумов таких функций можно проводить известными из курса высшей математики
методами дифференциального исчисления. Напомним вкратце этот путь.
Функция f(x) может достигать своего наименьшего и наибольшего значений либо в граничных точках отрезка
[а, b], либо в точках минимума и максимума. Последние точки обязательно должны быть критическими, т. е.
производная f(х) в этих точках обращается в нуль — это необходимое условие экстремума. Следовательно,
для определения наименьшего или наибольшего значений функции f(x) на отрезке [а, b] нужно вычислить ее
значения во всех критических точках данного отрезка и его граничных точках и сравнить полученные
значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x
3
/3 - х
2
на отрезке [1, 3].
Решение. Вычислим производную этой функции:
f'(x) = x
2
- 2x.
Приравнивая ее нулю, найдем критические точки:
x
2
- 2x = 0, x
1
= 0, x
2
= 2.
Точка х = 0 лежит вне рассматриваемого отрезка, поэтому для анализа оставляем три точки: а = 1, x
2
= 2, b=3.
Вычисляем значения функции в этих точках:
f(1) = -2/3, f(2) = -4/3, f(3) = 0.
Сравнивая полученные величины, находим, что наименьшего значения функция
f(x) достигает в точке х = 2,
наибольшего — в точке
x = 3, т. е.
f
min
= f(2) = -4/3, f
max
= f(3) = 0.
В рассмотренном примере уравнение f'(х) = 0 для отыскания критических точек удалось решить непосред-
ственно. Для более сложных видов производной функции f'(х) необходимо использовать численные методы
решения нелинейных уравнений.
Как уже отмечалось, используемый здесь метод, основанный на вычислении производной целевой функции,
требует ее аналитического представления. В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде
или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используются различные
методы поиска. Они основаны на вычислении целевой функции в отдельных точках и выборе среди них
наибольшего или наименьшего значений. Существует ряд алгоритмов решения данной задачи. Рассмотрим
некоторые из них.
2.2 Методы поиска. Численные методы поиска экстремальных значений функции рассмотрим на примере
нахождения минимума функции f(x) на отрезке [а, b]. Будем предполагать, что целевая функция унимодальна,
т. е. на данном отрезке она имеет только один минимум. Отметим, что в инженерной практике обычно
встречаются именно такие целевые функции.
Процесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проект-
ного параметра, называемого интервалом неопределенности. В начале процесса оптимизации его длина равна
b - а, а к концу она должна стать менее заданного допустимого значения ε, т. е. оптимальное значение
проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости - отрезке [х
п
, х
n+1
], причем x
n+1
- х
п
<ε.
Наиболее простым способом сужения интервала неопределенности является деление его на некоторое число
равных частей с последующим вычислением значений целевой функции, в точках разбиения. Пусть
п —
число элементарных отрезков,
h = (b — a)/n — шаг разбиения. Вычислим значения целевой функции y
k
— f
k
(х)
в узлах x
k
= a + kh (k = 0, 1, ..., п). Сравнивая полученные значения f(x
k
), найдем среди них наименьшее
y
i
=f(x
i
).
Число m
n
= y
i
можно приближенно принять за наименьшее значение целевой функций f(x) на отрезке [а, b].
Очевидно, что близость т
п
к минимуму m зависит от числа точек, и для непрерывной функции f(x)
,
lim
mm
n
n
=
∞→
т. е. с увеличением числа точек разбиения погрешность в определении минимума стремится к нулю.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- …
- следующая ›
- последняя »
