Составители:
Глава 9
ОПТИМИЗАЦИЯ
§ 1. Задача оптимизации. Постановка задачи.
1.1 Определения. Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных.
С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант
конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т. п.
В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых
параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть
проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве
проектных параметров могут быть, в частности, значения линейных размеров объекта, массы, температуры и
т. п. Число п проектных параметров х
1
, х
2
,..., х
n
характеризует размерность (и степень сложности) задачи
оптимизации.
Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью
некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется
целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены
такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким
образом, целевая функция — это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью
которых описываются инженерные или экономические задачи.
Целевую функцию можно записать в виде
u=f(x
1
,x
2
,…,x
n
)
(9.1)
Примерами целевой функции, встречающимися в инженерных и экономических расчетах, являются
прочность или масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок
грузов, прибыль и т. п.
В случае одного проектного параметра (n = 1) целевая функция (9.1) является функцией одной переменной, и
ее график — некоторая кривая на плоскости. При п = 2 целевая функция является функцией двух
переменных, и ее графиком является поверхность.
Следует отметить, что целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она мо-
жет принимать только некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т. п. Во всех случаях она
должна быть однозначной функцией проектных параметров.
Целевых функций может быть несколько. Например, при проектировании изделий машиностроения одновре-
менно требуется обеспечить максимальную надежность, минимальную материалоемкость, максимальный
полезный объем (или грузоподъемность). Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В
таких случаях необходимо вводить приоритет той или иной целевой функции.
1.2 Задачи оптимизации. Можно выделить два типа задач оптимизации — безусловные и условные.
Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции
(9.1 от п действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором
множестве σ n-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и
задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.
Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями,— это такие, при формулировке которых задают-
ся некоторые условия (ограничения) на множестве σ. Это ограничения задаются совокупностью некоторых
функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.
Ограничения-равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна
учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов,
финансовые требования и т. п.
В результате ограничений область проектирования σ, определяемая всеми
п проектными параметрами, может
быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число
т ограничений-ра-
венств может быть произвольным. Их можно записать в виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
