Составители:
.0),...,,(
..............................
,0),...,,(
,0),...,,(
21
212
211
=
=
=
nn
n
n
xxxg
xxxg
xxxg
(9.2)
В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие. Это позволяет
исключить некоторые параметры из процесса оптимизации, что приводит к уменьшению размерности задачи
и облегчает ее решение. Аналогично могут вводиться также
ограничения-неравенства, имеющие вид
.),...,,(
......................................
,),...,,(
,),...,,(
21
22122
12111
knkk
n
n
bxxxa
bxxxa
bxxxa
≤≤
≤≤
≤
≤
ϕ
ϕ
ϕ
(9.3)
Следует отметить особенность в отыскании решения при наличии ограничений. Оптимальное решение здесь
может соответствовать либо локальному экстремуму (максимуму или минимуму) внутри области
проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если же ограничения отсутствуют, то
ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т. е. глобальный экстремум.
Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования
одного из важных разделов прикладной математики — математического программирования.
1.3 Пример постановки задачи. Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного
параллелепипеда объемом V = 1 м
3
, причем желательно израсходовать на его изготовление как можно меньше
материала.
При постоянной толщине стенок последнее условие означает, что площадь полной поверхности контейнера
S
должна быть минимальной. Если обозначить через х
1
х
2
, х
3
длины ребер контейнера, то задача сведется к
минимизации функции
).(2
313221
xxxxxxS
+
+
=
(9.4)
Эта функция в данном случае является целевой, а условие V= l — ограничением-равенством, которое
позволяет исключить один параметр:
).
11
(2
,
1
,1
21
21
21
3321
xx
xxS
xx
xxxxV
++=
===
(9.5)
Задача свелась к минимизации функции двух переменных. В результате решения задачи будут найдены значе-
ния проектных параметров
х
1
, х
2
, а затем и х
3
. В приведенном примере фактически получилась задача
безусловной оптимизации для целевой функции (9.5), поскольку ограничение-равенство было использовано
для исключения параметра
х
3
.
Вместе с тем можно рассматриваемую задачу, усложнить и поставить дополнительные условия. Например,
потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 м. Это условие запишется в виде ограничения-
неравенства на один из параметров, например
.2
1
≥x
(9.6)
Таким образом, мы получили следующую условную задачу оптимизации: минимизируя функцию (9.5) и
учитывая ограничение-неравенство (9.6), найти оптимальные значения параметров плана
х
1
, х
г
(х
1
> 0, х
г
> 0).
§ 2. Одномерная оптимизация. Задачи на экстремум. Методы поиска. Метод золотого
сечения
2.1 Задачи на экстремум. Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим
образом. Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции y= f (x), заданной на множестве σ, и
определить значение проектного параметра х
∈
σ, при котором целевая функция принимает экстремальное
значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы.
Теорема Вейерштрасса.
Всякая функция f(х), непрерывная на отрезке [а, b], принимает на этом отрезке
наименьшее и наибольшее значения, т. е. на отрезке
[а, b] существуют такие точки x
1
и х
2
, что для любого x
∈ [a, b] имеют место неравенства
f(x
1
) ≤ f(x) ≤ f(x
2
).
Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность, когда равные
экстремальные значения достигаются сразу в нескольких точках данного отрезка. В частности, такая ситуация
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- …
- следующая ›
- последняя »
