Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

для краевой задачи (8.11). Обозначим через φi (i = 0, 1, ..., m) решения на отрезке [0, T] уравнения,
удовлетворяющие начальным условиям x(0) = a, x′(0) = ei,
где e
i
при i = 1, ..., m — векторы канонического базиса в Rm, а e
0
= 0.
Задача 5. Докажите, что если ∑m
i
=0α
i
= 1, то функция φ(t) = ∑m
i
=0αiφ(t)есть решение уравнения,
удовлетворяющее начальному условию x(0) = a.
Если мы найдем решение (α0, ..., αm) системы
∑
∑
=
=
=
=
m
i
m
i
Tii
i
0
0
,1)(
,1
ϕα
α
(8.19)
то функция φ(t) = ∑mi=0αiφi(t) будет, очевидно, решением задачи (8.11). Таким образом, для нахождения
решения этой краевой задачи потребуется решить всего m+1 начальную задачу , а затем линейную систему
(8.19) размерности (m+1)×(m+1).
3.2Метод конечных разностей.
Основная идея конечно-разностных методов решения краевых задач полностью аналогична идее конечно-
разностных методов решения задачи Коши. Краевая задача, скажем, для определенности, задача (8.10)– (8.11)
или, в операторной форме, заменяется разностной схемой
(8.20)
в пространстве Sτ сеточных функций на сетке Gτ. Дословно повторяются понятия порядка аппроксимации,
устойчивости, сходимости. Точно так же, как и в случае задачи Коши, имеет место теорема Лакса. Поэтому
для доказательства сходимости решений схемы (8.20) достаточно показать, что схема является
аппроксимирующей и устойчивой. И если с изучением свойств аппроксимации обычно проблем
не возникает,
то в случае краевых задач исследование устойчивости доставляет по сравнению со случаем задачи Коши ряд
дополнительных трудностей.
Мы начнем с простейшей линейной краевой задачи и простейшей разностной схемы.
ПРИМЕР. Рассмотрим скалярную линейную краевую задачу
(8.21)
(8.22)
Предположим, функция A непрерывна и A(t) < 0 при всех t  [0, T].
Задача 6. Докажите, что при этих условиях задача (8.12)– (8.13) имеет единственное решение для любой
непрерывной функции c и любых a и b.
Пусть Gτ — равномерная сетка на [0, T], причем τn = T. Определим на Sτ разностный оператор [Fτ(x)]i =
{xi+1– 2xi + xi–1,
τ2+ A(ti)xi – c(ti), если i = 1, ..., n – 1, !!!!
(8.23)
Здесь мы при i = 1, ..., n – 1 аппроксимировали вторую производную в (1) в точке t центральными разностями.
Задача 7. Покажите, что если A и c дважды непрерывно дифференцируемы, то схема (S) с таким разностным
оператором аппроксимирует задачу (8.21)– (8.22) со вторым порядком, т. е. ||FτPτφ||τ = O(τ2) для любого
решения φ задачи (8.21)– (8.22) .
Устойчивость схемы (8.23).
Пусть z Sτ, Fτφτ = 0, Fτψτ = z. Нам надо доказать
, что ||φτ – ψτ||τ ≤ Cs||z||τ при некотором Cs и всех достаточно
малых τ. Легко видеть, что сеточная функция ξ = φτ – ψτ удовлетворяет уравнению
Lτ(ξ) = z,
где [Lτ(ξ)]i = [Fτ(ξ)]i + c(ti) при i = 1, ..., n – 1 и [Lτ(ξ)]i = ξi при i = 0 и i = n.
Задача 9. Проведите необходимые выкладки.
Разностный оператор Lτ представляет собой разностный оператор Fτ
для однородной краевой задачи (8.21)–
(8.22) т. е. задачи при c(t) ≡ 0, a = b = 0.
Докажем сначала вспомогательную лемму, являющуюся разностным аналогом известного принципа
максимума (в данном контексте — минимума).
Лемма.
Пусть сеточная функция γ удовлетворяет условиям [Lτ(γ)]i ≤ 0 при i = 1, ..., n – 1, γ0 ≥ 0, γn ≥ 0. Тогда γi ≥ 0
при всех i = 0, ..., n.

Страницы