Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

определена с большой ошибкой, что повлечет большую погрешность в определении α и увеличит ошибку в
определении искомого решения φ(·, α). В описанной ситуации выход тривиален. Неустойчивость решений
уравнения (8.10)
(8.10)вправо означает их устойчивость влево. Поэтому можно
"стрелять влево с большой точностью", т. е. задавать подлежащий определению параметр β Rm ("угол
прицеливания") на правом конце промежутка [0, T]: решать уравнение
a
=
),0(
β
ψ
(8.14)
где ψ(T, β) — решение на [0, T] задачи Коши для уравнения (8.10) с начальными условиями
β
=
=
)(',)( TxbTx
(8.15)
Если уравнение (8.10) "неустойчиво в обе стороны" (например, оно автономно, линейно и имеет собственные
значения как с положительной, так и с отрицательной вещественной частью), то такая модификация метода
уже не помогает. В описанной ситуации можно уменьшить значимость ошибок, вызванных переносом
ошибок вдоль неустойчивых решений уравнения (8.10), применяя следующее соображение. Выберем точку
T1 (0, T). Очевидно
, если параметры α, β Rm таковы, что
,0),1('),1(',0),1(),1( =
−
=
−
β
ψ
α
ϕ
β
ψ
α
ϕ
TTTT
(8.16)
где φ(T, α) и ψ(T, β) — решения задач (8.10), (8.13) и (8.10), (8.15) на отрезках [0, T1] и [T1, T],
соответственно, а штрих означает дифференцирование по первому аргументу, то функция
x(t) = {φ(t, α) при t [0, T1],
ψ(t, β) при t [T1, T]
будет искомым решением задачи (8.10)
(8.10)– (8.11).
Задача 1. Докажите.
Если, например, в качестве T1 взять середину отрезка [0, T], то неустойчивость решений φ и ψ будут влиять
вдвое меньшее время и, следовательно, левая часть уравнения (8.16) будет определена точнее, чем для
уравнений (8.12) и (8.14). Разумеется эти преимущества не даются бесплатно: размерность уравнения (8.16)
возрастает вдвое по сравнению с размерностью уравнений (8.12) и (8.14) (последние уравнения —
это
системы m уравнений с m неизвестными, уравнение же (8.16) - система 2m уравнений с 2m неизвестными).
Эта идея обобщается в следующем пункте.
3.1.3 Метод параллельной стрельбы.
Выберем точки T1 < ... < Tn–1, разбивающие отрезок [0, T] на n подотрезков. Для унификации обозначим 0
через T0, T через Tn, a через a0, а b через an. Для любого i = 0, ..., n – 1 через φi(·, ai, α i) обозначим решение
задачи Коши для уравнения (8.10) на отрезке [Ti, Ti+1] с начальными условиями
iTixaiTix
α
=
=
)(',)(
(8.17)
Тогда, если ai (i = 1, ..., n – 1) и αi (i = 0, ..., n – 1) удовлетворяют уравнениям φi(Ti+1, ai, αi) = ai+1, i = 0, ...,
n
−1,
,1),,1()'(
+
=
+
iiaiTii
ϕ
(8.18)
i = 0, ..., n – 1
то функция x на [0, T], совпадающая с φi(·, ai, αi) на [Ti, Ti+1], является решением задачи (8.10)– (8.11).
Задача.2. Докажите.
Метод параллельной стрельбы заключается в нахождении x путем решения системы (8.18) m×(2n–1)
уравнений с m×(2n–1) неизвестными a1, ..., an–1, α0, ..., αn–1, в которой функции φi — решения начальных
задач (8.10), (8.17)— находятся тем или иным приближенным методом.
Задача.3. Предложите метод типа метода параллельной стрельбы для краевой задачи
x′ = f(t, x), Ax(0) + Bx(T) = a,
в которой f: [0, T]×Rm → Rm, а A и B — линейные операторы на Rm, такие, что A + B невырожден; a Rm.
Еще один вариант метода параллельной стрельбы выглядит так. В дополнение к точкам Ti выбираются точки
Si (Ti, Ti+1) (i = 1, ..., n – 1). Как и выше, через φi(·, ai, αi) обозначается решение уравнения (8.10) на отрезке
[Ti, Ti+1], удовлетворяющее начальным условиям
x(Si) = ai, x′(Si) = αi
(i = 1, ..., n – 1). Значения параметров ai и αi находятся из
соотношений
φi(Ti+1, ai, αi) = φi+1(Ti+1, ai+1, αi+1), i = 0, ..., n – 2,
φ′i(Ti+1, ai, αi) = φ′i+1(Ti+1, ai+1, αi+1), i = 0, ..., n – 2,
φ0(T0, a0, α0) = a, φn–1(Tn, an–1, αn–1) = b.
3.1.4 Случай линейной краевой задачи.
В общем случае, как уже говорилось, уравнения (8.12), (8.14), (8.18) являются нелинейными и требуют каких-
либо приближенных (как правило, итерационных) методов решения. Если же уравнение (8.10) линейное, то,
как нетрудно видеть, линейными получаются и перечисленные уравнения.
Задача 4. Докажите это утверждение.
Эти уравнения можно решать более эффективно, используя их линейность. Рассмотрим для примера метод

Страницы