Составители:
{} {}
01
,
kk
kk
ab
∞∞
==
. В общем случае элементы цепной дроби
(
)
0
,, 1,2,
kk
aab k=−…
вещественные
или комплексные числа или функции одной или нескольких переменных. Выражения
11 1 1
00 00 0
22 2
1
11 1
3
22
2
3
1
,, ,,
n
n
n
bb b b
aa aa a
bb b
a
aa a
b
aa
a
a
b
a
a
−
++ + +
++ +
+
+
+
…
называются соответственно первой, второй, третьей, … , n
−
й подходящей дробью Для данной бесконечной
дроби и обычно обозначаются
12
12
,,,.
n
n
P
PP
QQ Q
…
При работе на ЭВМ подходящие цепные дроби удобно
находить с помощью следующей последовательности операций:
1
111
222
1
2
1
1
1
1
0
1
,
,
,
,
,,
,.
n
n
n
n
c
nk
kknkk
k
n
nnn
nn
b
c
a
da c
da c
b
c
d
b
cdac
d
bP
cdac
dQ
−
−
−
−+
−
−
−
=
=+
=+
=
==+
==+=
………………
………………
Указанная последовательность действий легко программируется.
Для числителей и знаменателей подходящих дробей имеют место следующие рекуррентные формулы:
12
,
nnn nn
PaP bP
−−
=+
12
,
nnn nn
QaQ bQ
−
−
=
+
()
1, 2, ,n = …
где
11000
1, 0, , 1.PQ PaQ
−−
=== =
Цепная дробь (2.21) называется сходящейся, если существует конечный предел
A
подходящей дроби
/
nn
P
Q
при :n →∞
lim ,
n
n
n
P
A
Q
→∞
=
причём число
A
принимается значение этой дроби. Если же предел не существует, то цепная дробь (2.21)
называется расходящейся. Для сходящейся цепной дроби подходящая дробь
/
nn
PQ
является её
приближённым значением.
2. Разложение
x
e
в цепную дробь. Пользуемся следующим разложением:
22 2
12
0, , , , , , , .
12 6 10 4 2
x
xx x x
e
xn
⎡
⎤
−
=
⎢
⎥
++
⎣
⎦
……
(2.22)
Для любого
x
эта дробь сходящаяся. Подходящими дробями для данной функции являются
1
1
1
,
1
P
Q
=
2
2
2
,
2
Px
Qx
+
=
−
2
3
2
3
12 6
,
12 6
P
xx
Q
x
x
++
=
−+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
