Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
n
y −
приближённое значение y . Применив формулу Лагранжа, получим
()()
()
()()
,,, ,,
nn nyn
F
xy F xy F xy y yF xy
′
=−=−
где
n
y
− некоторое промежуточное значение между
n
y
и y . Отсюда
(
)
()
,
,
,
n
n
yn
Fxy
yy
Fxy
=−
′
Причём значение
n
y
нам не известно.
Полагая приближённо
,
nn
yy≈
получим следующую формулу для вычисления
1
:
n
yy
+
≈
(
)
()
1
,
,
n
nn
yn
Fxy
yy
Fxy
+
=−
′
(
)
0,1, 2, .n = … (2.25)
Если
()
,
y
F
xy
′
и
()
,
yy
F
xy
′′
существуют и сохраняют постоянные знаки в рассматриваемом интервале,
содержащем корень
(
)
yx, то итерационный процесс сходится к
(
)
yx.
Начальное приближение
()
0
yx выбирают так, чтобы оно легко вычислялось и было, по возможности,
близким к истинному значению
(
)
yx.
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока в пределах заданной точности два последовательных
значения
1n
y
+
и
n
y
не совпадут между собой, после чего приближённо полагают
(
)
1
.
n
yx y
≈
1. Вычисление обратной величины. Пусть
(
)
1/ 0yxx
=
>
. Положим
()
,1/0.Fxy x y=− =
Применив формулу (2.25), получим
(
)
1
2.
nn n
yy xy
+
=
− (2.26)
Вычисление
1n
y
+
по полученной итерационной формуле (2.26) содержит лишь действия умножения и
вычитания. Таким образом, можно находить 1/x на вычислительных машинах, в которых нет операции
деления. Начальное значение
0
y
выбирается обычно следующим образом. Записывают аргумент
x
в
двоичной системе:
1
2,
m
x
x=
где
m −целое число и
1
1/2 1x≤<
. Полагают
0
2;
m
y
−
=
при таком выборе начального значения
0
y
сходимость итерационного процесс довольно быстрая.
Замечание. Так как частное
/ab есть произведение a на 1/b, то деление на машинах, в которых нет
операции деления, можно реализовать в два этапа:
1) Вычисление 1/yb= (обратной величины делителя),
2) Умножение y на делимое a .
ПРИМЕР 2.9 С помощью формулы (2.26) найти значение функции
1/yx
=
при
5
x
=
с точностью до
4
10
−
.
Решение. Запишем аргумент
x
в виде
3
5
2
8
x
=
⋅
. Полагаем
3
0
21/8y
−
==
. По формуле (2.23) будем
иметь
1
1511
20,1718,
8864
y
⎛⎞
=−==
⎜⎟
⎝⎠
2
11 55 803
20,1960,
64 64 4096
y
⎛⎞
=−==
⎜⎟
⎝⎠

Страницы