Составители:
(
)
3
0,1960 2 0,9800 0,1960 1,0200 0,19992.y =−=⋅=
Мы видим, что здесь уже третье приближение даёт
(
)
0,1999yx
≈
с точностью до
4
10
−
.
2. Вычисление квадратного корня. Пусть
()
0.yxx=> Преобразуем это уравнение к виду
(
)
2
,0.Fxy y x
≡
−=
Применяя формулу (2.22), получим
1
1
2
nn
n
x
yy
y
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
(
)
0,1, 2, .n
=
… (2.27)
Эта формула называется формулой Герона.
Пусть аргумент
x
записан в двоичной системе:
1
2,
m
x
x=
где
m −целое число и
1
1/2 1.x≤<
Тогда обычно полагают
(
)
/2
0
2,
Em
y =
Где
(
)
/2Em − целая часть числа /2m .
Итерационный процесс по формуле Герона легко реализуется на машине, имеющей деление в качестве
элементарной операции; при этом процесс итераций сходится при любом выборе
0
0y >
(в этом примере
легко проверить выполнение указанных выше условий сходимости, так как
20
y
Fy
′
=>
и
20
yy
Fy
′′
=
>
).
Если
0,01 1
x
≤≤
, то за начальное приближение можно брать
0
;yaxb=+
соответствующие
коэффициенты
a и b приведены в Таблица 2.4.
Таблица 2.4
Коэффициенты для начального приближения в формуле Герона
Интервал
a
b
Интервал
a
b
(
)
0,01;0, 02 4,1
0,060
(
)
0,18;0,30 1, 0
0,247
()
0,02;0,03 3, 2
0,078
(
)
0,30;0,60 0,8
0,304
(
)
0, 03;0, 08 2, 2
0,110
(
)
0,60;1,00 0,6
0,409
(
)
0,08;0, 018 1, 4
0,174
При таком выборе начального приближения
0
y
уже вторая итерация
2
y
даёт значение
x
с восемью
десятичными знаками после запятой, причём при вычислении
0
y
можно брать значение
x
лишь с тремя
десятичными знаками.
ПРИМЕР 2.10 Найти
7
с точностью до
5
10
−
.
Р е ш е н и е. Здесь
3
7
72
8
x
=
=⋅
. Следовательно, начальное приближение имеет вид
(
)
3/2
0
22.
E
y
=
=
По формуле (2.24) последовательно находим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
