Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
() ( )
()
1
n
nn n
n
fx
x
xbx
bx
γγ
+
=− −
−
(3.9)
образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем
012 1
... ... .
nn
x
xx x x b
ξ
+
<<<<< <<<
Обобщая эти результаты, заключаем: 1) неподвижен тот конец, для которого знак функции f(x) совпадает со
знаком ее второй производной f"(x); 2) последовательные приближения
лежат по ту сторону корня
ξ
, где
функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f"(х). В обоих случаях каждое
следующее приближение
ближе к корню
ξ
, чем предшествующее . Пусть
lim
n
x
n
ξ
→∞
=
(
)
ab
ξ
<
<
(предел существует, так как последовательность {
} ограничена и монотонна). Переходя к пределу в
равенстве (3.8), для первого случая будем иметь:
(
)
()
()
()
;
f
a
a
ξ
ξξ ξ
γξ γ
=− −
−
Отсюда
()
0.f
ξ
=
Так как по предположению уравнение f(x)=0 имеет единственный корень
ξ
на интервале
(а, b), то, следовательно,
ξ
ξ
=
,
что и требовалось доказать.
Совершенно так же переходом к пределу в равенстве (3.9) доказывается, что
ξ
ξ
=
для второго случая.
Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой:
)
1
n
n
f
x
x
m
ξ
−≤
где
при a x b.
Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения
,
если известны два последовательных приближения
и
Будем предполагать, что производная f'(х) непрерывна на отрезке [а, b], содержащем все приближения, и
сохраняет постоянный знак, причем
11
0'() .mfxM
<
≤≤<+∞
(3.10)
Примем для определенности, что последовательные приближения
точного корня
ξ
вырабатываются по
формуле (3.8) (рассмотрение формулы (3.9) аналогично)
(
)
()()
()
1
11
1
n
nn n
n
fx
x
xxa
xa
γγ
−
−−
=
−−
−−
(n= 1, 2, ...), где конец а является неподвижным. Отсюда, учитывая, что
(
)
0f
ξ
=
будем иметь:
() ( )
1
11
1
()()
().
n
nnn
n
fx fa
ffx xx
xa
ξ
−
−−
−
−
−= −
−
Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим:
11 11
()'()( )'(),
nnnnn
xf xxfx
ξ
ξ
−− −−
−=−
где
11
(,)
nn
x
ξ
ξ
−−
∈
и
11
(, ).
nn
xax
−−
∈
Следовательно,
11
1
1
'( ) '( )
.
'( )
nn
nnn
n
fx f
xxx
ξ
ξ
γξ
−−
−
−
−
−= −
(3.11)
Так как f’(x) сохраняет постоянный знак на отрезке [а, b], причем
[
]
1
,
n
x
ab
−
∈
и
[
]
1
,,
n
ab
ξ
−
∈
очевидно,
имеем:
1111
'( ) '( ) .
nn
f
xf Mm
ξ
−−
−≤−
Поэтому из формулы (3.11) выводим:

Страницы