Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов.
Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.
Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде, выполним ряд тождественных
преобразований:
;0 ; ;
();( );
,
A
xb bAxxbAxx
x
bAx xx E Ax b
xBx b
τ
ττ
τ
==− =−+
=− + = − +
=+
(5.25)
где некоторое число, Е — единичная матрица, В=Е- А. получившаяся система (5.25) эквивалентна
исходной системе и служит основой для построения метода простой итерации.
Выберем некоторое начальное приближение и подставим его в правую часть системы (5.25):
(1) (0)
.
x
Bx b
τ
=
+
Поскольку не является решением системы, в левой части (5.25) получится некоторый столбец в общем
случае отличный от . Полученный столбец будем рассматривать в качестве следующего (первого)
приближения к решению. Аналогично, по известному k - му приближению можно найти (k+1)-е
приближение:
(1) ()
,0,1,2,...
kx
xBxbk
τ
+
=+ =
(5.26)
Формула (5.26) и выражает собой метод простой итерации. Для ее применения нужно задать неопределенный
пока параметр . От значения зависит, будет ли сходиться метод, а если будет, то какова будет скорость
сходимости т. е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. В частности,
справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть det A 0. Метод простой итерации (5.26) сходится тогда и только тогда, когда все
собственные числа матрицы В=А- Е по модулю меньше единицы.
Для некоторых типов матрицы А можно указать правило выбора , обеспечивающее сходимость метода и
оптимальную скорость сходимости. В простейшем же случае
можно положить равным некоторому
постоянному числу, например, 1, 0.1 и т. д.
2.3 Метод Гаусса-Зейделя.
Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью
программирования, является метод Гаусса-Зейделя.
Проиллюстрируем сначала этот метод па примере решения системы
11 1 12 1 13 3 1
21 1 22 1 23 3 2
31 1 32 1 33 3 3
,
,
.
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+
+=
+
+=
++=
(5.27)
Предположим, что диагональные элементы ац, а
22
, озз отличны от нуля (в противном случае можно
переставить уравнения). Выразим неизвестные , , и в соответственно из первого, второго и третьего
уравнений системы (5.27):
()
11122133
11
1
,
bax ax
a
=−−
(5.28)
()
22211233
22
1
,
x
baxax
a
=−−
(5.29)
()
33311322
33
1
,
x
baxax
a
=−−
(5.30)
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизестных:
Подставляя эти значения в правую часть выражения (5.28), получаем новое
(первое) приближение для :
()
(1) (0) (0)
11122133
11
1
.xbaxax
a
=−−
Используя это значение для и приближение для х
3
, находим из (5.29) первое приближение для х
2
:
()
(1) (1) (0)
22211233
22
1
.xbaxax
a
=−−

Страницы