Составители:
И наконец, используя вычисленные значения находим с помощью выражения (5.30)
первое приближение для
:
()
(1) (1) (1)
33311322
33
1
.xbaxax
a
=−−
На этом заканчивается первая итерация решения системы (5.28) - (5.30). Используя теперь значения ,
можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые
приближения к решению: и т. д.
Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с номером k-1, как
()
()
()
() ( 1) ( 1)
11122133
11
() () ( 1)
22211233
22
() () ()
33311322
33
1
,
1
,
1
.
kkk
kkk
kkk
xbaxax
a
xbaxax
a
xbaxax
a
−−
−
=− −
=−−
=−−
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения не станут близкими с заданной
погрешностью к значениям
ПРИМЕР. Решить с помощью метода Гаусса-Зейделя следующую систему уравнений:
123
123
123
44,
26 7,
230.
xx x
xxx
xxx
−
+=
+
−=
+
−=
Легко проверить, что решение данной системы следующее:
Решение. Выразим неизвестные х
1
, х
2
и х
3
соответственно из первого, второго и третьего уравнений:
()()
1232 13
312
11
4,72,
46
1
(2).
3
x
xx x xx
xxx
=+− =−+
=+
В качестве начального приближения (как это обычно делается) примем
Найдем
новые приближения неизвестных:
(1) (1)
12
(1)
3
115
(4 0 0) 1, (7 2 1 0) ,
466
158
(1 2 ) .
369
xx
x
=+−= =−⋅+=
=+⋅=
Аналогично вычислим следующие приближения:
(2) (2)
12
(2)
3
1 5871 1 71871
(4 ) , (7 2 ) ,
46972 6 72972
171 71 71
(2) .
372 72 72
xx
x
=+−= =−⋅+=
=+⋅=
Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в
двух последовательных итерациях. Рассмотрим теперь систему п линейных уравнений с n неизвестными.
Запишем ее в виде
11 , 1 1 , 1 1
... ... ,
1, 2,..., .
i i i i ii i i i i in n i
ax a x ax a x ax b
in
−− ++
++ + + ++ =
=
Здесь также будем, предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с
методом Гаусса-Зейделя k-c приближение к решению можно представить в виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
