Составители:
приемлемого значения повторением измерений достаточное число раз.
Грубые ошибки явно искажают результат измерения; они чрезмерно большие и обычно пропадают при
повторении опыта. Грубые ошибки существенно выходят за пределы случайной ошибки, полученные при
статистической обработке. Измерения с такими ошибками отбрасываются и в расчет при окончательной
обработке результатов измерений не принимаются.
Таким образом
, в экспериментальных данных всегда имеются случайные ошибки. Они, вообще говоря, могут
быть уменьшены до сколь угодно малой величины путем многократного повторения опыта. Однако это не
всегда целесообразно, поскольку могут потребоваться большие материальные пли временные ресурсы.
Значительно дешевле и быстрее можно в ряде случаев получить уточненные данные хорошей математической
обработкой имеющихся
результатов измерений.
В частности, с помощью статистической обработки результатов измерений можно найти закон распределения
ошибок измерений, наиболее вероятный диапазон изменения искомой величины (доверительный интервал) и
другие параметры. Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного пособия; их изложение можно
найти в некоторых книгах, приведенных в списке литературы. Здесь ограничимся лишь определением связи
между исходным параметром x и искомой величиной у на основании результатов измерений.
4.6 Эмпирические формулы.
Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между у и х, мы в результате серии экспериментов
произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значении
0
х
1
х
…
n
х
0
y
1
y
…
n
y
Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость
)(xfy
=
(6.48)
значения которой при
i
xx =
),...,1,0( ni =
мало отличаются от опытных данных
i
y . Приближенная
функциональная зависимость (6.48), полученная на основании экспериментальных данных, называется
эмпирической формулой
.
Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической
зависимости, вообще говоря, не проходят через заданные точки
),(
ii
yx , как в случае интерполяции. Это
приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная
формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и
определения наилучших значений содержащихся в ней параметров. Общий вид формулы иногда известен
из
физических соображений. Например, для упругой среды связь между напряжением
σ
и относительной
деформацией
ε
определяется законом Гука:
ε
σ
E
=
, где E — модуль упругости; задача сводится к
определению одного неизвестного параметра E.
Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным.
Предпочтение обычно отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Они
первоначально выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и
примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных
функций (многочлена, показательной пли логарифмической функций и
т. п.). Успех здесь в значительной
мере определяется опытом и интуицией исследователя.
Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость
baxy
+
=
(6.49)
Близость экспериментального распределения точек к линейной зависимости легко просматривается после
построения графика данной экспериментальной зависимости, Кроме того, эту зависимость можно проверить
путем вычисления значений
i
k :
iii
xyk ΔΔ= / ,
iii
yyy
−
=
Δ
+1
,
iii
xxx
−
=
Δ
+1
,
.1,...,1,0 −
=
ni
Если при этом
constk
i
≈ , то точки ),(
ii
yx расположены приблизительно на одной прямой, и может быть
поставлен вопрос о применимости эмпирической формулы (6.49). Точность такой аппроксимации
определяется отклонением величин
i
k от постоянного значения. В частном случае равноотстоящих точек
i
x ,
(т. е.
constx
i
=Δ ) достаточно проверить постоянство разностей
i
y
Δ
.
Пример. Проверим возможность использования линейной зависимости для описания следующих данных:
Поскольку здесь
i
x — равноотстоящие точки (
5.0
1
=
−
=
Δ
+ iii
xxx
), то достаточно вычислить разности
i
y
Δ
:
0.64, 0.69, 0.65, 0.64, 0.65. Так как эти значения близки друг к другу, то в качестве эмпирической формулы
можно принять линейную зависимость.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
