Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие экспериментальные данные, когда их
график в декартовой системе координат не является прямой линией. Это может быть достигнуто путем
введения новых переменных
ξ
,
η
вместо x и y:
),( yx
ϕ
ξ
=
,
),( yx
ψ
η
=
(6.50)
Функции
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
выбираются такими, чтобы точки (
i
ξ
,
i
η
) лежали на некоторой прямой линии в
плоскости (
ξ
,
η
). Такое преобразование называется выравниванием данных.
Для получения линейной зависимости
ba
+
=
ξ
η
с помощью преобразования (6.50) исходная формула должна быть записана в виде
.),(),( byxayx
+
=
ϕ
ψ
К такому виду легко сводится, например, степенная зависимость
b
axy =
(x>0, y>0). Логарифмируя эту
формулу, получаем
.lglglg axby +=
Полагая
xlg
=
ξ
,
ylg
=
η
, находим линейную связь;
cb
+
=
ξ
η
).lg( ac =
4.7 Локальное сглаживание данных.
Как отмечалось ранее , опытные данные содержат случайные ошибки, что является причиной разброса этих
данных. Во многих случаях бывает целесообразно провести их сглаживание для получения более плавного
характера исследуемой зависимости. Существуют различные способы сглаживания. Рассмотрим один из них,
основанный на методе наименьших квадратов.
Пусть в результате экспериментального исследования зависимости y = f{x) получена таблица значений
искомой функции у
0
, у
1
,…,y
n
в точках x
1
, х
0
,…, х
n
. Значения аргумента х ( предполагаются равноотстоящими,
а опытные данные у
i
— имеющими одинаковую точность. Предполагается также, что функция y = f(x) на
произвольной части отрезка [х
0
,х
n
] может быть достаточно хорошо аппроксимирована многочленом
некоторой степени n.
Рассматриваемый способ сглаживания состоит в следующем. Для нахождения сглаженного значения
i
y в
точке x
i
выбираем по обе стороны от нее k значений аргумента. По опытным значениям рассматриваемой
функции в этих точках
2/112/
,...,,,,...,
hiiiihi
yyyyy
++−−
строим многочлен степени m с помощью метода
наименьших квадратов (при этом
km ≤
). Значение полученного многочлена
i
y в точке х
i
и будет искомым
(сглаженным) значением. Процесс повторяется для всех внутренних точек. Сглаживание значений, располо-
женных вблизи концов отрезка [х
0
, х
n
], производится с помощью крайних точек.
Опыт показывает, что сглаженные значения
i
y , как правило, с достаточной степенью точности близки к ис-
тинным значениям. Иногда сглаживание повторяют. Однако это может привести к существенному искажению
истинного характера рассматриваемой функциональной зависимости.
Приведем в заключение несколько формул для вычисления сглаженных опытных данных при различных m,
k:
m=1:
),(
3
1
11 +−
++=
iiii
yyyy
k=2,
)(
5
1
2112 ++−−
++++=
iiiiii
yyyyyy
, k=4,
),(
7
1
321123 +++−−−
++++++=
iiiiiiii
yyyyyyyy
k=6,
m=3:
),31217123(
35
1
2112 ++−−
−+++−=
iiiiii
yyyyyy
k=4,
),2367632(
21
1
321123 +++−−−
−+++++−=
iiiiiiii
yyyyyyyy
k=6,
),211439545954391421(
231
1
43211234 ++++−−−−
−+++++++−=
iiiiiiiiii
yyyyyyyyyy
k=8;
),5307513175305(
231
1
321123 +++−−−
+−+++−−=
iiiiiiii
yyyyyyyy
k=5,

Страницы