Составители:
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§1.Численное дифференцирование. Аппроксимация производных. Погрешность численного
дифференцирования. Использование интерполяционных формул. Метод неопределнных
коэффициентов. Частные производные.
1.1 Численное дифференцирование.
Численное дифференцирование применяется в тех случаях, когда: функция f(x) задана таблично и,
следовательно, методы дифференциального исчисления неприменимы; аналитическое выражение f(x) столь
сложно, что вычисления производной представляют значительны трудности.
В основе численного дифференцирования лежит следующий прием: исходная функция f(x) заменяется на
рассматриваемом отрезке [a,b] Интерполяционным полиномом P
n
(x) И считается, что f’(x) И P’
n
(x) Примерно
равны, т.е. f’(x)=P’
n
(x), .
)( bxa ≤≤
.
В работе рассматривается следующая задача: дана таблица функции, требуется построить таблицу ее
производной с тем же шагом.
Всегда, когда это возможно, для численного дифференцирования используется интерполяционный многочлен
с равноотстоящими узлами, так как это значительно упрощает формулы численного дифференцирования.
При равноотстоящих узлах в начале строится интерполяционный полином Ньютона, а затем он
дифференцируется.
Если f(x) задана таблицей с неравноотстоящими узлами, то вначале строится интерполяционный полином
Лагранжа, а затем он дифференцируется.
В работе изучается численное дифференцирование, основанное на первой интерполяционной формуле
Ньютона. Из-за больших погрешностей численное дифференцирование практически используется для
вычисления производных не выше второго порядка. Обычно при численном дифференцировании
интерполяционный полином Ньютона строится
не по всем узлам таблицы, а по трем-пяти узлам,
близлежащим к точке…, в которой требуется вычислить производную. Если требуется вычислить
производную во всех узлах, то вначале полином Ньютона строится по первым 3-5 узлам и в них вычисляется
производная, потом полином Ньютона строится по следующим 3-5 узлам и в них вычисляется производная
и
т.д. до тех пор, пока не будет просчитана вся таблица.
Если по узлам x
0
, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
построить первый интерполяционный полином Ньютона и его
продифференцировать с учетом
)(
)(1)()(
xd
xdf
hdx
dq
dq
xdf
dx
xdf
×=×=
то получим приближенное выражение для f’(x) в виде:
,...)2,1,0(
0
,
12
31192
6
2163
2
12
h
1
(x)f
1
0
4
23
0
3
2
0
2
0
=−=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
−+−
+Δ
+
+Δ
−
+Δ≈
′
+
jxxри
h
xx
qгде
y
qqq
y
qq
y
q
y
jj
(7.1)
Вторая производная f’’(x)в результате дифференцирования формулы (7.1) с учетом равенства
dx
dq
dq
xfd
dx
xfd
xf ×==
))('(0)('(
)(''
имеет следующее приближенное выражение:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
+−
+Δ−+Δ≈
0
4
2
0
3
0
2
2
12
11186
)1(
1
)('' y
qq
yqy
h
xf
(7.2)
Если требуется вычислить f’(x) в узлах x
0
, x
1
,…, x
n
, то в формулу (7.1) необходимо поочередно поставить q=0,
q=1, q=2, q=3, q=4 соответственно.
В случае выбора узлов x
j
, x
j+1
, ..., x
j+4
вместо узлов x
0
, x
1
, ...,x
4
в формулах (7.1), (7.2) следует заменить
конечные разности y
0
на конечные y
j
, которые берутся из строчки с номером j таблицы конечных разностей.
Если требуется найти производные функции f(x) в основных табличных точка x
j
то каждое табличное
значение считается за начальное и тогда x
j
=x
0
, q=0, а формулы (7.1), (7.2) будут соответственно для всех f’(x)
и f’’(x) иметь вид:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
