Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
−
Δ
−
Δ
−Δ≈
432
1
)('
0
4
0
3
0
2
00
yyy
y
h
xf
(7.1' )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ+Δ−Δ≈
0
4
0
3
0
2
2
0
12
111
)('' yyy
h
xf
(7.2' )
Если интерполяционный полином строится не по пяти, а по четырем или трем узлам, то в формулах (7.1),
(7.1’), (7.2), 7. 2’ отбрасываются соответственно одно или два последних слагаемых.
Чтобы вычислить значение производной в точке, соответствующей концу таблицы, следут воспользоваться
формулой, полученной дифференцированием второй интерполяционной формулы Ньютона, т.е. формулой
⎥
⎦
⎤
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
+++
+Δ
++
+Δ
+
+Δ=
−−−− 4
4
23
3
3
2
2
2
1
12
31192
6
263
2
121
)('
nnnn
y
qqq
y
qq
y
q
y
h
xf
Ошибка ограничения, получаемая при вычислении k-й производной по рассмотренным вые формулам,
совпадает с k-й производной ошибки ограничения интерполяционного полинома Ньютона. Эту ошибку для
первой производной можно приближенно оценить по формуле:
,
)!1(
))...(2)(1(
)('
)1(1
0
++
+
−
−
−
=
kk
k
y
k
kqqqq
kxR
где
[]
ba,∈
ξ
, но отлична от узла интерполяции.
для x=x
0
и q=0 эта формула упрощается:
)(
)1(
)1()('
)1(
0
ξ
+
+
−=
k
k
k
k
y
k
h
xR
А так как часто величину
)(
)1(
ξ
+k
y получить трудно, то полагая при малом h, что
1
0
)1(
+
+
Δ
≈
k
k
h
y
y
ξ
окончательно получаем
1
)1(
)('
0
1
+
Δ
×
−
≈
+
k
y
h
xR
k
k
k
Таблица 7.1
i x
i
y
i
Δy Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y
0 X0 Y0
Δy0=y1-y0 Δ2y0=Δy1-Δy0 Δ3y0=Δ2y1-Δ2y0 Δ4y0=Δ3y1-Δ3y0 Δ5y0=Δ4y1-Δ4y0
1 X1 Y1
Δy1=y2-y1 Δ2y1=Δy2-Δy1 Δ3y1=Δ2y2-Δ2y1 Δ4y1=Δ3y2-Δ3y1
2 X2 Y2
Δy2=y3-y2 Δ2y2=Δy3-Δy2 Δ3y2=Δ2y3-Δ2y2
3 X3 Y3
Δy3=y4-y3 Δ2y3=Δy4-Δy3
4 X4 Y4
Δy4=y5-y4
5 X5 Y5
1.2 Погрешность численного дифференцирования.
Аппроксимируем функцию f(х) некоторой функцией
)(х
ϕ
, т. е. представим ее в виде
)()()( xRхxf
+
=
ϕ
(7.3)
В качестве аппроксимирующей функции
)(х
ϕ
можно принять частичную сумму ряда или
интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда
или интерполяционной формулы.
Аппроксимирующая функция
)(х
ϕ
может быть использована также для приближенного вычисления
производной функции f(x). Дифференцируя равенство (7.3) необходимое число раз, можно найти значения
производных
:),...(),( xfxf
′′
′
′
)()()( xRxxf
′
+
′
′
/
=
′
ϕ
В качестве приближенного значения производной порядка k функции f(x) можно принять соответствующее
значение производной функции
)(х
ϕ
, т.е. )()(
)()(
xxf
kk
ϕ
≈ .
Величнна
)()()(
)()()(
xxfxR
kkk
ϕ
−= ,
характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется
погрешностью аппроксимации производной.

Страницы