Составители:
При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом h, эта погрешность зависит
от h, и ее записывают в виде О (h
k
). Показатель степени k называется порядком погрешности аппроксимации
производной (или просто порядком аппроксимации). При этом предполагается, что значение шага по модулю
меньше единицы.
Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора
...
!3
)(
!2
)(
)()()(
32
+Δ
′
′
′
+Δ
′
′
+Δ
′
−=Δ+ x
xf
x
xf
xxfxfxxf
Пусть функция f(х) задана в виде таблицы f(x
i
)=y
i
, (i=0, 1, …,n) Запишем ряд Тейлора при х=х
i
,
hx
−
=
Δ
с
точностью до членов порядка h;
)(
110
hOhyyy
+
′
−
=
.
Отсюда найдем значение производной в точке х = х
i
.
)(
01
1
hO
h
yy
y +
−
=
′
Полагая
hx =Δ
и
hx −=Δ
соответственно получаем
)(
!3!2
43
1
2
1
110
hOh
y
h
y
hyyy +
′
′
′
+
′
′
+
′
+=
(7.4)
)(
!3!2
4
1
2
1
112
hO
y
h
y
hyyy +
′
′
′
−
′
′
+
′
−=
Вычитая эти равенства одно из другого, после очевидных преобразований получаем:
)(
2
2
02
1
hO
h
yy
y +
−
=
′
Это аппроксимация производной
021
yyy
−
=
Δ
,
hx 2
=
Δ
,
h
yy
y
2
02
1
−
≈
′
с помощью центральных
разностей. Она имеет второй порядок.
Складывая равенства (7.4), находим оценку погрешности аппроксимации производной второго порядка вида
2
0120112
12
1
2/)(/)(
)(1
h
yyy
h
hyyhyy
h
yy
yy
+−
=
−−−
≈
′
−
′
≈
′
′
=
′′
Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок. Аналогично можно получить аппроксимации
производных более высоких порядков и оценку их погрешностей.
Мы рассмотрели лишь один из источников погрешности численного дифференцирования — погрешность
аппроксимации (ее также называют погрешностью усечения). Она определяется величиной остаточного
члена.
Анализ остаточного члена нетривиален, и сведения по этому вопросу можно
найти в более полных курсах по
численным методам и теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при
уменьшении шага h, как правило, уменьшается.
Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными
значениями функции yi в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от
погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает
с уменьшением шага h. Поэтому суммарная
погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого
предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.
Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризации процедуры численного
дифференцирования. Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага h, при котором
справедливо неравенство
ε
>−+ )()( xfhxf
, где
ε
> 0 — некоторое малое число. При вычислении
производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению
погрешности. Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число h.
Другой способ регуляризации — сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой
аппроксимирующей функции, например многочлена.
1.3 Метод неопределенных коэффициентов
Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольного расположения узлов. Использование
многочлена Лагранжа в этом случае приводит к вычислению громоздких выражении, поэтому удобнее
применять метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем. Искомое выражение для
производной k-го порядка в некоторой точке х=х
i
представляется в виде линейной комбинации заданных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
