Составители:
2,j+2 1,i+2 2
Способ разложение в ряд Тейлора функции двух переменных:
...)33(
!3
1
)2(
!2
1
),(),(
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
2
2
22
2
2
2
+Δ
∂
∂
+ΔΔ
∂∂
∂
+ΔΔ
∂∂
∂
+Δ
∂
∂
+
+Δ
∂
∂
+ΔΔ
∂∂
∂
+Δ
∂
∂
+
+Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
+=Δ+Δ+
y
y
f
yx
yx
f
yx
yx
f
x
x
f
y
y
f
yx
yx
f
x
x
f
y
y
f
x
x
f
yxfyyxxf
(7.9)
Используем эту формулу дважды; 1) найдем U
i+1,j
= f(x
i
+h
1
,y
i
) при
x
Δ
=h
1
,
y
Δ
=0; 2) найдем U
i-1,j
= f(x
i
+h
1
,y
i
)
при
xΔ
=-h
1
yΔ
=0. Получим
...
!3
1
!2
1
U
3
1
3
3
2
1
2
2
1j1,i
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
+
h
x
u
h
x
u
h
x
u
Ui
ij
j
i
j
i
j
...
!3
1
!2
1
U
3
1
3
3
2
1
2
2
1j1,i
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
−
h
x
u
h
x
u
h
x
u
Ui
ij
j
i
j
i
j
Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем
)(2
3
11,1,1
hO
x
u
hUU
ij
jiji
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=−
−+
Отсюда найдем аппроксимацию производной с помощью центральных разностей:
)(
2
2
1
1
,1,1
hO
h
uu
x
u
jiji
ij
+
−
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
Она имеет второй порядок.
Аналогично могут быть получены аппроксимации производной
y
u
∂
∂
а также старших производных. В
частности, для второй производной можно, получить
)(
2
2
1
2
1
,1,1
2
2
hO
h
uuu
x
u
jiijji
+
+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
Записывая разложения в ряд (7.7) при разных значениях
Δ
х и
Δ
у, можно вывести формулы численного
дифференцирования с необходимым порядком аппроксимации.
Приведем окончательные формулы для некоторых аппроксимаций частных производных. Слева указывается
комбинация используемых узлов (шаблон), которые отмечены кружочками. Значения производных
вычисляются в узле (xi,yi), отмеченном крестиком (напомним, что на шаблонах и в таблице 7.2 по
горизонтали изменяются переменная х и индекс i, по вертикали — переменная
у и индекс i):
1
,1.1
2h
uu
x
u
jiji
ij
−+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
2
,1,1
2h
uu
y
u
jiji
ij
−+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
,
2
,1.1
2
2
2
2
h
uuu
x
u
jiijji
ij
−+
+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
,
2
2
,1,1
2
2
2
2
h
uuu
y
u
jiijji
ij
−+
+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
